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Funktionentheorie » Holomorphie » Äquivalente Aussage zu analytischen Funktionen
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Universität/Hochschule Äquivalente Aussage zu analytischen Funktionen
aexl
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  Themenstart: 2012-08-09

Hallo zusammen, Ich brauche unbedingt eure Hilfe, einen kleinen Zusammenhang zu verstehen. Und zwar lese ich gerade Amann/Escher zum Thema "analytische Funktionen". Da haben wir folgende Definition: Es sei $D \subset \mathbb K$ offen und $f: D \to \mathbb K$. Dann heisst $f$ analytisch, wenn es zu jedem $x_0 \in D$ ein $r = r(x_0) > 0$ gibt und eine Potenzreihe $a = \sum_{k} a_k X^k$ mit Konvergenzradius $\varrho \geq r$ gibt mit $f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ für $x \in \mathbb B(x_0, r)$. Weiter haben wir folgenden Satz: Wenn $a = \sum_k a_k X^k$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius ist, so gilt $\underline a \in C^\infty(\varrho \mathbb B, \mathbb K)$ und $\underline a = \mathcal T(\underline a_, 0)$, d.h. $\sum_k a_k X^k$ ist die Taylorreihe von $\underline a$ um 0 und $a_k = \underline a^{(k)}(0)/k!$. Nun soll direkt aus diesem Satz folgende Äquivalenz folgen: $f$ ist genau dann analytisch, wenn $f \in C^\infty(D)$ und es zu jedem $x_0 \in D$ eine Umgebung $U \subset D$ gibt mit $f(x) = \mathcal T(f, x_0)(x)$ für $x \in U$. Könnte mir bitte jemand diese Äquivalenz genau erläutern? Ich komme da einfach nicht dahinter... Ich wäre super dankbar! Gruss aexl


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-09

Da passiert nicht viel; man benutzt i.W. nur die Translation x -> x - x0, die ja ein analytischer Isomorphismus ist. Was hast du denn bisher probiert, um die Äquivalenz zu zeigen? [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Holomorphie' von Martin_Infinite]


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