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  Minimaleigenschaft interpolierender Splines |
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Hanna
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.05.2003
Mitteilungen: 104
 |  Themenstart: 2004-02-08
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Kann mir jemand die geometrische Bedeutung von:
"bestimmtes Integral über den quadrierten Betrag einer stetig diff.baren Funktion"
erklären ?
Ich brauche das für die Minimaleigenschaft interpolierender Splines.
Gruß Hanna
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susi0815
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-08
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hallo Hanna,
kannst Du bitte genauer erklären, was Du da wissen möchtest und welche Vorkenntnisse du hast?
Gruß, Susi
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Hanna
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.05.2003
Mitteilungen: 104
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-08
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Es geht um die minimaleigenschaft interpolierender Splines gerader Ordnung.Das angegebene Funktional soll gegen ein min laufen und ich versteh nicht, welche Bedeutung das haben soll.
Ich gute Vorkenntnisse in Analysis und linearer Algebra und in Polynominterpolation !
hanna
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susi0815
Senior
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Mitteilungen: 1559
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| Beitrag No.3, eingetragen 2004-02-08
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dann stell Dir doch mal vor, die interpolierende Funktion könnte eine beliebig große L^2-Norm haben, dann könnte die Interpolierende genauso wild umherschwingen wie ein Interpolationspolynom hoher Ordnung (was man ja gerade mit den Splines umgeht). Durch solch eine minimale L^2-Norm kann man sich also enigermaßen sicher sein, dass sich die Interpolierende "friedlich" verhält und ihre Schwingungen einigermaßen begrenzt sind.
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46890
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.4, eingetragen 2004-02-09
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Hi Hanna,
für sogenannte natürliche kubische Interpolationssplines ist bekannt, dass sie einen minimalen Wert des Integrals
int(f"(x)^2,x,a,b)
liefern, die geometrische Bedeutung davon besteht darin, dass das quadratische Mittel der (linearisierten) Krümmung f"(x) minimal wird,
a = x0 < x1 < ... < xn = b sind die Stützstellen des Splines. Natürliche Splines bedeutet, dass f"(a) = f"(b) = 0 gefordert wird. Das Minimum wird unter allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen mit f"(a) = f"(b) = 0 gesucht.
Für Splines gerader Ordnung kenne ich aber keine so einfache Aussage.Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-02-09 11:01 ]
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susi0815
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2004-02-09
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Die von Buri erwähnte Minimaleigenschaft für die kubischen Splines (Ordnung 4) ist natürlich die bekannteste. Wenn man dort die 2. durch die 1. Ableitung ersetzt und nur Stetigkeit in den Interpolationsknoten fordert, kommt man auf lineare Splines (2. Ordnung).
Kann natürlich sein, dass das für höhere gerade Ordnungen munter weiter geht. Wie lautet denn das besagte Funktional genau?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
susi0815
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2004-02-13
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Hallo Hanna,
hat sich die Frage erledigt oder verrätst Du uns noch mehr drüber ?
Gruß, Susi
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