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  Substitution |
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Chris91
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.03.2011
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 |  Themenstart: 2012-11-12
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Hallo,
Aufgabe: Berechnen Sie durch Substitution: int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)
Das kann man ja erst einmal nicht berechnen, da man keine Stammfunktion dazu erkennen kann, deshalb soll die Substitution angewendet werden, so weit komme ich noch mit.
So viele Möglichkeiten gibt es ja bei dieser Aufgabe nicht, ich sage mal: t=sqrt(x)
Dann habe ich: int((sin2t)/t,x,0,\pi^2)
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich weiter machen soll oder wie ich generell dabei vorgehen soll. Der Lehrstoff bringt mich da auch nicht weiter.
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Tolotos
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-12
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Hi Chris91,
Du solltest erst mal auch die Grenzen anpassen.
Und dann solltest du, damit man weiterrechnen kann, dass "dx" irgendwie durch ein "dt" ersetzen. Und wenn du das machst, dann wirst du auch eine Stammfunktion "sehen".
[ Nachricht wurde editiert von Tolotos am 12.11.2012 01:12:21 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, eingetragen 2012-11-12
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Es ist doch $2tdt=dx$
[ Nachricht wurde editiert von vgb am 12.11.2012 01:29:32 ]
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Chris91
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-12
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Ich habe mir mal angesehen wie man da generell vorgeht. Zumindest die Struktur sollte stimmen:
int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)
Substitution: t=2 sqrt(x)
Ableitung: dt/dx=1/sqrt(x)
Umstellung: dx=dt/(1/sqrt(x))
Substitution beim Integral: int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)=int((sin(t))/sqrt(x),,0,\pi^2)*dt/(1/sqrt(x))
Bis hier hin erst einmal.
So, was ist daran alles falsch? Ich bin mir sicher, selbst wenn das stimmen sollte, könnte man so manches einfacher aufschreiben.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 12.11.2012 14:27:43 ]
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Max_Cohen
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2012-11-12
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\
Bis auf die fehlende Umrechnung der Grenzen ist das richtig.
Wenn x von 0 bis \pi^2 läuft, dann läuft t = 2 sqrt(x) von ... bis ?
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viertel
Senior 
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2012-11-12
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\quoteon(2012-11-12 14:26 - Chris91 in Beitrag No. 3)
Ich bin mir sicher, […], könnte man so manches einfacher aufschreiben.
\quoteoff
Dann tu es doch!
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Chris91
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-12
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Ich komme einfach nicht drauf wie man die Grenzen zu berechnen hat.
Aber ich schreibe das mal schöner hin:
int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)=int((sin(t))/sqrt(x),,0,\pi^2)*dt/(1/sqrt(x))=int((sin(t))/x^(1/2),,0,\pi^2)*dt/0.2x
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 12.11.2012 20:48:02 ]
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viertel
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2012-11-12
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\quoteon(2012-11-12 20:47 - Chris91 in Beitrag No. 6)
Ich komme einfach nicht drauf wie man die Grenzen zu berechnen hat.
\quoteoff
Einfach in die Substitution einsetzen 
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, eingetragen 2012-11-12
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Das ist totaler Schrott.
$\int_{0}^{\pi^{2}}\frac{\text{sin}\left(2\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx$
Beachte:
$t=\sqrt{x}\Longrightarrow\quad 2tdt=dx$ und $t=\sqrt{\pi^{2}}=\pi$ und $t=\sqrt{0}=0$
Also setzt man ein und findet heraus:
$\int_{0}^{\pi}\frac{\text{sin}(2t)}{t}2tdt$
Jetzt kürzt sich bisschen was weg und das Integral das übrig bleibt, kriegst du selbst hin.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von vgb am 12.11.2012 20:55:04 ]
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Chris91
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-12
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Was soll totaler Schrott sein? Bei mir ist t=2*sqrt(x) und die neuen Grenzen dann von 0 bis 2\pi oder wie?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, eingetragen 2012-11-12
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Aha, im Startbeitrag war $t=\sqrt{x}$.
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Ex_Senior
| Beitrag No.11, eingetragen 2012-11-14
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Hallo
Bei einr solchen Funktion, solltest du die Stammfunktion direkt ablesen können.
mfgMrBean
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Chris91
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-15
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Nein, kann ich nicht. Wenn ich weiter rechne wird es schlimm:
int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)=int((sin(t))/sqrt(x),,0,\pi^2)*dt/(1/sqrt(x))=int((sin(t))/x^(1/2),,0,2\pi)*dt/(1/sqrt(x))
=stammf((-cos(t)/(x^(1/2)/3)*dt/(x^2/10)),0,2\pi)=
Kanns doch nicht sein.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 15.11.2012 23:48:24 ]
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 00:14:27 ]
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acm5
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2012-11-15
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hallo chris91.
Doch das solltest du ablesen können, da gilt:
1/sqrt(x) != 0.2x
und deshalb kürzen sich die Wurzelterme weg. Zumal du nach t integrierst und da ein x (alles was mit x zu tun hatte, hast du ja eigentlich wegsubstituiert!) nichts verloren hat.
Und das Integral über sin(t) kann man ablesen.
Grüße,
acm
[ Nachricht wurde editiert von acm5 am 15.11.2012 23:58:27 ]
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Chris91
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Verstehe ich alles nicht. 1/sqrt(x) wollte ich eigentlich nur zu 0.2x vereinfachen, was wohl falsch ist, lassen wir 1/sqrt(x) einfach stehen. Das ist auch der Grund warum ich nie etwas vereinfache,das sind einfach potenzielle Fehlerquellen.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 00:15:44 ]
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lulz
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2012-11-16
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Schreibe es dir nochmals sauber auf.
Das Integral in der Mitte in deinem Beitrag Nr. 12 schaut ja schon ganz ok aus (bis auf die Grenzen..)
Die Wurzel kürzt sich und dann ist man eigentlich schon fertig.
Gruß
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acm5
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| Beitrag No.16, eingetragen 2012-11-16
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Punkt 1:
Wenn du bei einem Integral eine Variablensubstitution durchführst, dann darf nach der Substitution keine alte Variable mehr dastehen, sonst hast du was falsch gemacht, da du NUR nach der neuen und NICHT mehr nach der alten Variable integrierst.
Punkt 2:
Du darfst das sehr wohl vereinfachen. Was steht denn da?
(sin(t))/sqrt(x)/(1/sqrt(x)) = (sin(t))/sqrt(x)*sqrt(x) = sin(t)
Aber das sqrt(x) = 0.2x setzen, ist verboten!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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Chris91
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Ok, damit werde ich morgen bzw heute sicherlich etwas anfangen können, gute Nacht.
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.18, eingetragen 2012-11-16
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Es ist eigentlich schon arg peinlich 
Da hantierst du mit Integralen, aber die simpelsten Regeln der Bruchrechnung fehlen.
a/b*c/(1/b)=a/b*c*b/1=a*c
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Chris91
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Deine Ausdrucksweise ist viel peinlicher, glaub mir. Und sowas ist hier Moderator.
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davidhigh
Senior
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 | Beitrag No.20, eingetragen 2012-11-16
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Hallo,
jetzt entspannt euch mal wieder. Chris, wie schauts, hast du den Fehler schon rausgelesen? Wie Dietmar schreibt kürzen sich die Wurzelterme im Nenner weg, und stehen bleibt eben ein sin(t). Das musst du integrieren, und kannst es denk ich mal auch. Bei der oberen grenze hat der Aufgabensteller netterweise pi^2 hingeschrieben ... naja, auf beide Grenzen solltest du eben noch die Wurzel loslassen. Fazit: integrier den sin von 0 bis pi. Das hast du ja auch fast selbst hinbekommen.
Gruß, David
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viertel
Senior
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| Beitrag No.21, eingetragen 2012-11-16
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Oh, Entschuldigung. Wieder mal einer, der keine Kritik verträgt. Das konnte ich ja nicht ahnen.
Aber anstatt hier die Klauen auszufahren solltest du lieber nachdenken, wie du dem Mißstand abhelfen kannst.
\quoteon(2012-11-16 00:10 - Chris91 in Beitrag No. 14)
Verstehe ich alles nicht. 1/sqrt(x) wollte ich eigentlich nur zu 0.2x vereinfachen, was wohl falsch ist, lassen wir 1/sqrt(x) einfach stehen. Das ist auch der Grund warum ich nie etwas vereinfache,das sind einfach potenzielle Fehlerquellen.
\quoteoff
Ausdrücke nicht zu vereinfachen, das ist der eigentliche Grund für Fehler!
\quoteon(2012-11-16 01:14 - Chris91 in Beitrag No. 19)
Deine Ausdrucksweise ist viel peinlicher, glaub mir.
\quoteoff
Muß ich aber nicht. Solche „Feststellungen“ helfen dir aber auch nicht weiter.
Wenn ich dir hingegen rate, Bruchrechnung zu lernen, denke ich schon, daß das von Vorteil für dich ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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acm5
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| Beitrag No.22, eingetragen 2012-11-16
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davidhigh meinte wohl 2*sqrt(\pi^2)=2*\pi als Grenze, da wir jetzt ja mit 2*sqrt(x)=:t substituieren.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]
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davidhigh
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| Beitrag No.23, eingetragen 2012-11-16
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von mir aus. danke für die Korrektur.
Gruß, David
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Chris91
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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\quoteon(2012-11-16 00:15 - acm5 in Beitrag No. 16)
Punkt 1:
Wenn du bei einem Integral eine Variablensubstitution durchführst, dann darf nach der Substitution keine alte Variable mehr dastehen, sonst hast du was falsch gemacht, da du NUR nach der neuen und NICHT mehr nach der alten Variable integrierst.
Punkt 2:
Du darfst das sehr wohl vereinfachen. Was steht denn da?
(sin(t))/sqrt(x)/(1/sqrt(x)) = (sin(t))/sqrt(x)*sqrt(x) = sin(t)
Aber das sqrt(x) = 0.2x setzen, ist verboten!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
\quoteoff
Woher hast du denn (sin(t))/sqrt(x)/(1/sqrt(x)) genommen? Ich meine, wie soll das dt/(1/sqrt(x)) sein?
Und wie soll jedes x verschwinden? Ich verstehe schon, dass es sein muss, die Substitution soll doch aber t=2 sqrt(x) sein, also setze ich überall wo sqrt(x) steht ein t ein. Ich raff das nicht.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 14:06:05 ]
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lulz
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| Beitrag No.25, eingetragen 2012-11-16
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Das ist doch genau das, was da letztlich dasteht wenn du substituiert hast....
int(sin(2 \sqrt(x))/\sqrt(x),x,0,\pi^2)
Subst:
u=2 \sqrt(x)
=> diff(u,x)=1/\sqrt(x)
Deshalb: \sqrt(x) du=dx
u_1=2*\sqrt(\pi^2)=2 \pi
u_2=0
Damit ist
int(sin(2 \sqrt(x))/\sqrt(x),x,0,\pi^2)=int(sin(u)/\sqrt(x)*\sqrt(x),u,0,2\pi)
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 16.11.2012 16:01:46 ]
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acm5
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| Beitrag No.26, eingetragen 2012-11-16
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Das ist ja auch nicht das selbe, also die zwei Terme
(sin(t))/sqrt(x)/(1/sqrt(x)) und dt/(1/sqrt(x)).
Ich sag nur, dass, wenn du mit t = 2*sqrt(x) substituierst, du
int((sin(t))/sqrt(x)/(1/sqrt(x)),t,0,2*\pi) dastehen hast und sich das sqrt(x) rauskürzt und du somit nach der Substitution noch int(sin(t),t,0,2*\pi) zu berechnen hast!
EDIT: so wie es in dem Post vor mir geschrieben steht.
[ Nachricht wurde editiert von acm5 am 16.11.2012 14:20:07 ]
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Chris91
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Kann ich immer noch kaum nachvollziehen.
1.) int(sin(2 \sqrt(x))/\sqrt(x),x,0,\pi^2)
2.) =dt/(1/sqrt(x))
3.) =int(2sin(t)/\sqrt(x)*\sqrt(x),t,0,2\pi)
Wurde von Schritt 2.) auf 3.) einfach der Nenner durch Multiplikation sozusagen hoch geholt? Dass sqrt(x) dann weggekürzt wird verstehe ich. Aber warum wird bei dir, lulz, von 2sin(u) gesprochen? Die Substitution ist doch 2 sqrt(x) somit sollte die 2 doch sozusagen verschwunden sein. Die 2 habe ich trotzdem mal übernommen.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 15:55:28 ]
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lulz
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| Beitrag No.28, eingetragen 2012-11-16
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Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert, also ja er wurde durch Multiplikation "hochgeholt".
Sorry die 2 war wohl ein Schreibfehler.
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acm5
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| Beitrag No.29, eingetragen 2012-11-16
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Vergleiche hierzu Beitrag No. 18 von viertel.
(a/b)/(c/d)= d/c*a/b
mit a = dt, b = 1, c = 1, d = sqrt(x)
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Chris91
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Ja, die Regeln kenne ich. Also haben wir
int(2sin(t)/\sqrt(x)*\sqrt(x),t,0,2\pi)=int(sin(t)* ,t,0,2\pi)
noch da stehen.
=int(sin(t)* ,t,0,2\pi)=stammf((-cos(t)),0,2\pi)
oder wie?
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 16:44:40 ]
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lulz
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| Beitrag No.31, eingetragen 2012-11-16
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Die rechte Seite macht keinen Sinn. In der Stammfunktion sollte doch kein Differential mehr drinnenstehn...
Mach dir mal (anschaulich) klar, was du beim Integral eigentlich machst. Dann dürftest du auch einsehen, dass da kein Differential mehr hingehört.
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 16.11.2012 16:39:50 ]
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Chris91
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Normalerweise müsste es verschwinden, man macht ja sozusagen die Ableitung rückgängig. Ich habe das mal korrigiert, wie ich meine.
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mixwell
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 | Beitrag No.33, eingetragen 2012-11-16
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Das sieht besser aus. Jetzt musst du lediglich die Grenzen einsetzen.
[ Nachricht wurde editiert von mixwell am 16.11.2012 16:46:52 ]
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Chris91
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Da kommt dann aber nur gerundet ~=-1 raus.
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lulz
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Dabei seit: 13.11.2012
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| Beitrag No.35, eingetragen 2012-11-16
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Wieso gerundet?
Schau dir mal den Einheitskreis an. Wo ist denn da -cos(2pi)
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Chris91
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Kam mir auch komisch vor, habe vergessen den Taschenrechner umzustellen, jetzt kommt ohne Rundung -1 raus.
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lulz
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Mitteilungen: 496
| Beitrag No.37, eingetragen 2012-11-16
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Du brauchst dazu eigentlich den Taschenrechner überhaupt nicht. :)
Aber hauptsache du hast jetzt das Richtige raus.
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Chris91
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Dabei seit: 15.03.2011
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-16
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Ich schreib das mal zusammenfassend hin:
int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)
Substitution: t=2 sqrt(x)
Ableitung: dt/dx=1/sqrt(x)
Umstellung: dx=dt/(1/sqrt(x))
Substitution beim Integral: int((sin2 sqrt(x))/sqrt(x),x,0,\pi^2)=int((sin(t))/sqrt(x),,0,2\pi)*dt/(1/sqrt(x))=int(sin(t)/\sqrt(x)*\sqrt(x),t,0,2\pi)
=int(sin(t)* ,t,0,2\pi)=stammf((-cos(t)),0,2\pi)=-1-(-1)=0
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 16.11.2012 21:40:01 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.39, eingetragen 2012-11-16
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Hallo,
dein letzter Schritt gefällt mir nicht. Es ist
$-cos(0)=-1$!
LG Niklas
EDIT: Du kannst du ja mal überlegen, warum der Wert des Integrals gerade
\hideon
0
\hideoff
... ist.
[ Nachricht wurde editiert von uniQue_ am 16.11.2012 19:32:15 ]
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