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| Autor |
  Verständnis bezüglich Zerlegung der Eins |
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Physikerin
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2008
Mitteilungen: 4433
 |  Themenstart: 2012-11-23
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Hallo zusammen,
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Gegeben ein Vektorbündel E über einer Mannigfaltigkeit M. Nun kann man lokal auf U_\a riemannsche Metriken definieren auf E, wenn U_\a, \phi_\a eine Trivialisierung ist.
Frage 1: Ist es notwendig für diese lokale Definition , dass die U_\a offen sind?
Frage 2: Wie kann ich diese lokalen Metriken mithilfe der Zerlegung der eins auf eine globale Metrik auf M fortsetzen?
Danke im Voraus!
[ Nachricht wurde editiert von Physikerin am 23.11.2012 18:46:38 ]
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Kofi
Senior 
Dabei seit: 06.08.2010
Mitteilungen: 902
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-23
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Nun, $U_\alpha$ ist eine lokal endliche, offene Überdeckung. Und zu solchen gibt es stets eine untergeordnete Zerlegung der Eins $\chi_\alpha$.
Natürlich ist es hier relativ unerheblich, ob die Mengen offen, abgeschlossen oder sonst irgendwas sind. Man braucht eigentlich nur die Zerlegung der Eins und dass das Vektorbündel auf dem Träger der einzelnen Funktionen $\chi_\alpha$ jeweils trivial ist (der Träger ist übrigens per Definition abgeschlossen).
Nun nimmt man einfach auf jedem $U_\alpha$ eine Metrik $g_\alpha$ her (die existiert stets, schließlich ist das Bündel trivial) und setzt dann $ g := \sum_\alpha \chi_\alpha \cdot g_\alpha$.
(Übrigens wird hier direkt klar, wieso das für semiriemannsche Metriken nicht mehr funktioniert!)
[ Nachricht wurde editiert von Kofi am 23.11.2012 21:05:46 ]
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Physikerin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2008
Mitteilungen: 4433
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-24
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Hallo Kofi,
Vielen Dank für die Antwort!
Warum muss das Vektorbündel auf den Trägern jeweils trivial sein?
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Physikerin
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Dabei seit: 24.10.2008
Mitteilungen: 4433
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-24
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Und meine zweite Frage wäre, wo ich verwende, dass die Summe der Zerlegungen 1 ergibt(?)
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Kofi
Senior
Dabei seit: 06.08.2010
Mitteilungen: 902
| Beitrag No.4, eingetragen 2012-11-24
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Nur für triviale Bündel weißt du a priori, dass sie eine riemannsche Metrik tragen! Ist das Bündel nicht trivial aber zumindest trivialisierbar, reicht das auch, weil du dann die Metrik mithilfe des trivialisierenden Isomorphismus zurückziehen kannst!
Dass die Summe eins ergibt, benutzt du nirgendwo. Allerdings muss jede der Funktionen positiv sein.
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Physikerin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2008
Mitteilungen: 4433
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-24
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Alles klar, soweit habe ich das glaube ich verstanden, danke Kofi!
Noch eine Frage: Was passiert denn auf dem Schnitt auf zwei Überdeckungen
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U_\alpha und U:\beta? Was versichert mir, dass auch dort g stetig ist?
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Kofi
Senior
Dabei seit: 06.08.2010
Mitteilungen: 902
| Beitrag No.6, eingetragen 2012-11-24
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Hättest du die konstruktion tatsächlich verstanden, könntest du diese Frage selbst beantworten
! Die Funktionen aus der Zerlegung der Eins sind alle glatt auf ganz M. Insbesondere ist die Summe von ihnen glatt auf ganz M!
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Physikerin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2008
Mitteilungen: 4433
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-24
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Stimmt, da sind wohl leider noch Verständnislücken gewesen. Ok jetzt glaube ich , habe ich es verstanden, vielen Dank!
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Physikerin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Physikerin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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