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 Drehachsen bei einem Kristall |
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CaptainLu
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2003
Mitteilungen: 136
 |  Themenstart: 2004-02-17
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Hallo!
Ich hatte mal in einer Vorlesung einen kurzen geometrischen bzw. trigenometrischen Beweis dafür gesehen, dass es bei einem Kristall keine 5-zählige Drehachse gibt, und einen Beweis, dass es keine höherzähligen Drehachsen als die 6-zählige Drehachse gibt.
Ist leider nicht mehr auffindbar.
Kennt einer von euch diese Beweise bzw weiß jemand, in welchem Buch ich sie finden könnte?
Wäre sehr dankbar für euere Hilfe!
Captain Lu
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Rebecca
Senior 
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-17
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Schnabbert
Senior
Dabei seit: 11.11.2003
Mitteilungen: 1909
Wohnort: Südhessen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2004-02-17
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46890
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-02-17
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Hi CaptainLu,
mir scheint folgende einfache Begründung mit Hilfe von 3x3-Matrizen möglich: Weil es sich um ein Kristallgitter handelt, gibt es drei linear unabhängige Translationen, die man als Basisvektoren des dreidimensionalen Raumes (ein möglicherweise schiefwinkliges Koordinatensystem) nehmen kann. Die Translationen sind in dieser Basis genau die Vektoren von der Form
matrix(n_1;n_2;n_3) mit ganzen Zahlen n_1\.,n_2\.,n_3\..
Wir betrachten nun eine Drehung um den Winkel \a und bestimmen
ihre Matrix in dieser Basis. Weil die Drehung eine Symmetrieoperation
ist, muß sie Translationen in Translationen überführen, das bedeutet,
dass alle ihre Elemente ganze Zahlen sind. Die Eigenwerte der
Drehung um den Winkel \a sind aber e^i\a\., e^(-i\a) und 1
(Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist natürlich die Drehachse).
Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Summe der Diagonalelemente
der Matrix, also ganzzahlig. Weil also 2*cos\a+1 ganzzahlig und
\a<>0 ist, bleiben nur die Möglichkeiten cos\a=-1,-1/2\.,0\,1/2\.,
sie führen auf 2-, 3-, 4- und 6-zählige Drehachsen.
Gruß Buri
PS: Man könnte den Beweis auch so führen, dass keine komplexen Zahlen verwendet werden.
Zuerst bemerkt man, dass die Drehung um die z-Achse in einem
rechtwinkligen Achsensystem durch eine Matrix
\matrix(cos\a,-sin\a,0;sin\a,cos\a,0;0,0,1), \a = Drehwinkel
dargestellt wird, die Diagonalsumme ist 2*cos\a+1.
Jede beliebige Drehachse darf natürlich hierbei als z-Achse genommen werden.
Dies gilt aber dann auch in jedem anderen System, auch in schiefwinkligen, weil sich die Diagonalsumme einer Matrix, die man die Spur der Matrix nennt, bei einer Koordinatentransformation (Ähnlichkeitstransformation) nicht ändert.
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-02-17 17:02 ]
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CaptainLu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.08.2003
Mitteilungen: 136
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-18
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Hallo!
Danke für die Hilfe!
Ich glaube, jetzt verstehe ich es allmählich!
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
iwanttolearnmathe
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 172
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-19
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Hello, tut mir leid das ich diesen Thread wieder eröffne aber ich suche auch diese Beweise und die Links funktionieren leider nicht mehr, gibt's ne Aktualisierte Version oder so?
Beste Grüße
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