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  Partielle Integration, ein Beispiel |
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Chris91
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 |  Themenstart: 2012-11-28
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Hallo,
ich gucke mir grade die Partielle Integration an, verstehe aber schon zwei Schritte in einem Beispiel nicht:
int(sin^2(x),x,0,\pi)
Die setzen dabei f(x)=sin(x) und g(x)=-cos(x) sowie f´(x)=cos(x) und g´(x)=sin(x)
Die Auswahl von f(x) und g(x) kann ich schon nicht nachvollziehen, wenn das jemand erläutern könnte wäre ich dankbar.
Dann folgender Schritt:
int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((-sin(x)*cos(x)),0,\pi)-int(-cos^2(x),x,0,\pi)
Ich kann das in int(f(x)*g´(x),a,b)=stammf((f(x)*g(x)),a,b)-int(f´(x)*g(x),x,a,b) nicht wieder erkennen.
Wie entsteht denn das -sin(x)? Bei mir würde rauskommen: stammf((-cos(x)*-sin(x)),0,\pi)
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 28.11.2012 20:35:50 ]
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-28
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Hallo
Tipp: Satz des Pythagoras am Einheitskreis.
mfgMrBean
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mixwell
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-11-28
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Zur Auswahl:
Es ist $\int \sin^2(x) dx = \int \sin(x) \cdot \sin(x) dx $. Nun ist $f(x)=\sin(x)$ und $g'(x)=\sin(x)$ gewählt worden (es bleibt ja auch keine andere Möglichkeit). Wenn man jetzt einmal differenziert und einmal integriert, erhält man $f'(x)=\cos(x)$ sowie $g(x)=-\cos(x)$.
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Chris91
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Ok, wenigstens das kann ich jetzt nachvollziehen. Aber was ist hier denn passiert?
int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((-sin(x)*cos(x)),0,\pi)
wenn ich f(x)=sin(x) integriere, kommt da doch -cos(x) raus und wenn ich g(x)=-cos(x) integriere kommt da -sin(x) raus.
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lulz
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2012-12-02
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So wie du das hingeschrieben hast, stimmt es nicht.
Schau dir mal die Regel zur partiellen Integration an:
int(f(x)*g'(x),x,a,b)=stammf(f(x)*g(x),a,b)-int(f'(x)*g(x),x,a,b)
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 02.12.2012 21:14:09 ]
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Chris91
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Das ist es ja, ich habe die Regel ja selbst schon gepostet. Ich erkenne die Regel aber trotzdem nicht in dem Schritt aus dem Beispiel wieder.
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lulz
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| Beitrag No.6, eingetragen 2012-12-02
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Es steht doch da:
int(sin^2(x),x)=-cos(x) sin(x) -int(-cos^2(x),x)
Nun betrachte int(-cos^2(x),x): Das kannst du auf einen Sinus umschreiben indem du den trigonometrischen Pythagoras verwendest. Also: sin^2(x)+cos^2(x)=1.
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Chris91
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Der Schritt soll aber so aussehen:
int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((-sin(x)*cos(x)),0,\pi)-int(-cos^2(x),x,0,\pi)
Der Schritt, den du gepostet hast, ist der so wie ich ihn auch machen würde. Langsam verzweifel ich.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 02.12.2012 22:50:27 ]
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lulz
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| Beitrag No.8, eingetragen 2012-12-02
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Was ist denn da anders, ich habe lediglich die Grenzen nicht hingschrieben.
Forme das Integral mit dem Cosinus-Term in einen Sinus-Term um, dann kommst du zum Ziel :)
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Chris91
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Sehe nur ich den Unterschied? -sin(x) ist doch nicht gleich -cos(x)?
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lulz
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| Beitrag No.10, eingetragen 2012-12-02
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Die Multiplikation ist doch kommutativ...
-sin(x)*cos(x)=-cos(x)*sin(x)
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Chris91
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Und was soll das? Warum vertauscht man das? Ich erwarte f(x) an erster Stelle, wie in der Regel. Aber selbst dann frage ich mich, warum cos(x) bzw sin(x) nicht negativ ist? Also wie in Beitrag Nr. 3 vermutet.
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Calculus
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2012-12-02
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Kommutativgesetz! Es ist doch vollkommen egal in welcher Reihenfolge man die Terme aufschreibt.
-cos(x) * sin(x)
= (-1) * cos(x) * sin(x)
= cos(x) * (-1) * sin(x)
= cos(x) * (-sin(x))
= (-sin(x)) * cos(x)
Und es gibt noch gefühlte Tausend weitere Varianten ein und den selben Term auszudrücken.
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lulz
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| Beitrag No.13, eingetragen 2012-12-02
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Sieh dir den Beitrag No. 2 nochmal an. Das Minus kommt doch durch das Integrieren von sin(x).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 02.12.2012 23:11:36 ]
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Chris91
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-02
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Ja, aber auch wenn ich -cos(x) intergriere, oder nicht?
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lulz
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| Beitrag No.15, eingetragen 2012-12-02
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Warum willst du denn -cos(x) hier integrieren?
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Chris91
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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Weil g(x)=-cos(x) oder nicht? Laut Regel dann intergrieren, oder nicht?
int(f(x)*g´(x),a,b)=stammf((f(x)*g(x)),a,b)-int(f´(x)*g(x),x,a,b)
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lulz
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| Beitrag No.17, eingetragen 2012-12-03
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Ja g(x)=-cos(x), aber du musst doch das Integral von f'(x)*g(x) berechnen. Siehe Beitrag No. 6.
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Chris91
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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Ich raff aber nicht warum. Für mich bedeutet dieser kleine Schritt
int(f(x)*g´(x),a,b)=stammf((f(x)*g(x)),a,b)
dass ich f(x) und g´(x) integrieren soll.
Anschließend wird davon int(f´(x)*g(x),x,a,b) abgezogen. Das kann man doch kaum missverstehen, warum ist das denn nicht so? Beitrag Nr. 6 birngt mich da nicht weiter.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 03.12.2012 15:52:22 ]
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lulz
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| Beitrag No.19, eingetragen 2012-12-03
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Deine Gleichung stimmt so wie sie dasteht nicht. Vergleiche hierzu mit deinem Beitrag 16.
Schreib deine Rechnung mal hier auf.
Ich verstehe nicht wo dein Problem liegt? Eigentlich wurde in Post 2 und 3 alles gesagt was man für diese Aufgabe wissen muss.
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 03.12.2012 16:09:15 ]
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Chris91
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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Ne, das war grad Mumpitz was ich geschrieben habe. Also : int(f(x)*g´(x),x,a,b)=stammf((f(x)*g(x)),a,b)-int(f´(x)*g(x),x,a,b)
bedeutet nichts anderes, als das int(f(x)*g´(x),x,a,b) genau das gleiche wie stammf((f(x)*g(x)),a,b)-int(f´(x)*g(x),x,a,b) ist.
Bei mir würde das so aussehen:
int(sin(x)*sin(x),x,a,b)=stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b)-int(cos(x)*(-cos(x)),x,a,b)
Fasse ich int(cos(x)*(-cos(x)),x,a,b) noch zusammen sieht das Ganze dann so aus:
int(sin(x)*sin(x),x,a,b)=stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b)-int(-cos^2(x),x,a,b)
Kann man daraus nicht ablesen wo der Denkfehler ist?
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 03.12.2012 16:23:55 ]
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lulz
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| Beitrag No.21, eingetragen 2012-12-03
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Fast.
Schau dir den ersten Term in der letzten Gleichung auf der rechten Seite an. Da sollte ein negatives Vorzeichen stehen, bei dir steht da ein Positives...
Also -cos(x)*sin(x) muss da hin. Mach dir klar wieso.
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Chris91
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b) hier etwa?
-stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b) so habe ich das jetzt verstanden.
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mixwell
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| Beitrag No.23, eingetragen 2012-12-03
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Ja, an der Stelle ist etwas falsch und nein, deine Idee ist falsch. Daher:
Sieh mal in meinen obigen Beitrag. Nimm dir alle einzelnen Bausteine und wirf sie (stumpf!) in die Formel der partiellen Integration.
Schreib auf, wie das aussieht.
Außerdem sollte dir klar sein, dass $f \cdot g = g \cdot f$ (in diesem Kontext) gilt.
[ Nachricht wurde editiert von mixwell am 03.12.2012 16:53:21 ]
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lulz
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| Beitrag No.24, eingetragen 2012-12-03
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\quoteon(2012-12-03 16:44 - Chris91 in Beitrag No. 22)
stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b) hier etwa?
-stammf((-cos(x)*(-sin(x))),a,b) so habe ich das jetzt verstanden.
\quoteoff
Nein.
Schreibe bitte mal f(x), f'(x), g(x) und g'(x) auf so wie du denkst dass es richtig ist. Vorerst mal nicht eingesetzt sondern einfach getrennt aufschreiben....
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Chris91
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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f(x)=sin(x) und f´(x)=cos(x)
g(x)=-cos(x) und g´(x)=sin(x)
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lulz
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| Beitrag No.26, eingetragen 2012-12-03
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Gut,
und nun setzt du dies ganz stur in die Regel der partiellen Integration ein.
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Chris91
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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int(sin(x)*sin(x),x,a,b)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),a,b)-int(-cos^2(x),x,a,b)
Und jetzt noch eine Geschichte mit dem Vertauschungsgesetzt, sodass das Minus von vor cos(x) nach vor sin(x) verschwindet, oder wie?
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lulz
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| Beitrag No.28, eingetragen 2012-12-03
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Das ist doch total Latte wo das Minus steht!
Nun musst du das Integral auf der rechten Seite umformen. Was gilt für cos^2(x)?
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Chris91
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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Keine Ahnung was für cos^2(x) gilt. Ich wollte eigentlich so weiter machen:
int(sin(x)*sin(x),x,a,b)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),a,b)-int(-cos^2(x),x,a,b)
=int(sin(x)*sin(x),x,a,b)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),a,b)+int(cos^2(x),x,a,b)
Also die beiden - ergeben ein +
Dann weiss ich noch, dass sin^2(x)+cos^2(x)=1 ist, was wir eigentlich da stehen haben, oder nicht?
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 03.12.2012 20:48:57 ]
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lulz
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| Beitrag No.30, eingetragen 2012-12-03
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Forme den Integranden auf der rechten Seite mit der von dir geposteten Identität um:
int(cos^2(x),x,a,b)=int(1-sin^2(x),x,a,b)
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 03.12.2012 21:26:14 ]
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Chris91
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-03
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1 ist doch dx. Sieht doch dann bisher so aus:
int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),0,\pi)+int(,x,0,\pi)-int(sin^2(x),x,0,\pi)
Wie war das jetzt nochmal? Das -int(sin^2(x),x,0,\pi) müsste man wohl auf die linke Seite bringen können.
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lulz
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| Beitrag No.32, eingetragen 2012-12-03
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1 ist nicht gleich dx. Das ist nur eine Kurzschreibweise.
Ausführlich steht da also:
int(1,x,a,b)=int(,x,a,b)
Fasse nun die 2 Sinus-Integrale zusammen und du bist fertig.
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Chris91
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-06
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int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),0,\pi)+int(,x,0,\pi)-int(sin^2(x),x,0,\pi)
int(2sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),0,\pi)+stammf((x),0,\pi)
Faktorregel:
=2 int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf((sin(x)*(-cos(x))),0,\pi)+stammf((x),0,\pi)
int(sin^2(x),x,0,\pi)=stammf(1/2*(x-sin(x)*(-cos(x))),0,\pi)
int(sin^2(x),x,0,\pi)=(1/2*(\pi-sin(\pi)*cos(\pi)))-(1/2*(0-sin(0)*cos(0)))=1/2 \pi
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 06.12.2012 23:54:25 ]
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 07.12.2012 00:12:23 ]
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lulz
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| Beitrag No.34, eingetragen 2012-12-06
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Hi, das Ergebnis stimmt, allerdings stimmt die linke Seite der letzten 3 Gleichungen so wie du es hier aufgeschrieben hast nicht. Du hast die 2 vor´s Integral gezogen, dann muss die 2 auch im Integranden weg.
Die 2 darfst du übrigens auch sofort vor´s Integral schreiben (was hier auch mehr Sinn macht).
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Chris91
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-07
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Ok, jetzt sehe ich es auch, ich habe einfach vergessen die 2 jeweils aus den Integranden zu nehmen. Ich sehe ja hier in der Integrationsregel, dass die 2 weg muss. Das ist ja sozusagen ein verschieben.
Jedenfalls Danke für die Geduld und Hilfe.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 07.12.2012 00:11:10 ]
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Site
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Dabei seit: 14.07.2003
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Wohnort: Heidelberg
 | Beitrag No.36, eingetragen 2012-12-07
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Da dies geklärt ist, noch als kleine Anmerkung ein Trick, den man öfter gebrauchen kann, als man denkt:
$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \frac{1}{2} \left( \int_0^\pi \sin^2 x \,dx + \int_0^\pi \cos^2 x \, dx \right) = \frac{1}{2} \int_0^\pi dx = \frac{\pi}{2}$
Site
Edit: Der erste Schritt verwendet $\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \int_0^\pi \cos^2 x\,dx$, da $\sin$ und $\cos$ durch Phasenverschiebung um $\pi/2$ ineinander übergehen.
[ Nachricht wurde editiert von Site am 07.12.2012 00:26:29 ]
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Chris91
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Mitteilungen: 1115
| Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-09
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Alles Klar, Danke.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 09.12.2012 23:09:41 ]
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Chris91 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chris91 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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