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  Gauss-Krümmung einer abwickelbaren Fläche |
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retzengrahl
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
 |  Themenstart: 2012-12-01
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Hallo zusammen
Mir ist folgendes unklar:
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Aufgabe: Die Parametrisierung einer abwickelbaren Fläche S \subset\ \IR^3 sei gegeben durch:
P(u,v)=Q(u)+v*L(u) mit L(u) \neq 0 und Q'*(L\and\ L')=0.
Man zeige: Alle Flächen mit dieser Parametrisierung sind nicht lokal isometrisch zur Sphäre.
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Die Sphäre hat Gauss-Krümmung 1/(r^2) . Wenn ich nun zeigen kann, dass die Krümmung von S = 0 ist, bin ich fertig.
K(S)=(LN-M^2)/(EG-F^2) mit den Koeffizienten der 2. bzw. 1. Fundamentalform.
Nun gut, dass LN-M^2 = 0 habe ich schon gezeigt. Aber bei der Berechnung von EG-F^2 habe ich folgendes Problem:
Nach mehrmaligen Durchrechnen kriege ich:
P_u = Q'+vL' P_v=L
EG-F^2 = L^2(Q'+vL')^2 - L^2(Q'+vL')^2 = 0 mit den Multiplikationseigenschaften des Skalarprodukts.
Dann würde ich bei der Berechnung der Gauss-Krümmung ja durch 0 teilen und das wäre mir nicht definiert. Wo ist mein Fehler? Was muss ich hier anders machen bei der Berechnung der 1.FF ?
Grüsse
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2012-12-01
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Hi retzengrahl,
L und Q' und L' sind Vektoren.
Natürlich ist das Skalarprodukt von L und Q'+vL' nicht gleich L2·(Q'+vL')2.
Dann wäre ja immer EG = F2, das heißt, die erste Fundamentalform wäre immer entartet.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 01.12.2012 12:47:16 ]
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retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-01
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Das sag ich auch gar nicht:
E=(Q'+vL')^2
F=(Q'+vL')*L
G=L^2
Wenn ich die Vektoren nun so definiere:
a:=Q'+vL'
b:=L
EG-F^2=a^2*b^2-(a*b)^2=a*a*b*b-(a*b)*(a*b)
Warum darf ich diese Klammern hier nicht "wegnehmen"?
Mit Cauchy-Schwarz folgt dann zwar grösser gleich 0 aber warum ist es grösser 0 ?
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.3, eingetragen 2012-12-01
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\quoteon(2012-12-01 23:12 - retzengrahl in Beitrag No. 2)
1. Das sag ich auch gar nicht ...
2. Warum darf ich diese Klammern hier nicht "wegnehmen"?
\quoteoff
Hi retzengrahl,
1. Doch, genau das sagst du, siehe 2.
2. Weil das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ergibt.
Der Punkt, der zwischen (a·b) und (a·b) steht, ist also ein "anderer" Punkt als der Punkt zwischen a und b, und man kann hier nicht einfach anders klammern oder Klammern weglassen.
Wie gesagt, das ist nicht nur falsch, sondern würde bedeuten, dass immer EG = F2 ist.
Gruß Buri
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retzengrahl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
retzengrahl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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