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Analysis » Differentialgeometrie » gleiche Gauss-Kruemmung folgt lokale Isometrie
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Universität/Hochschule J gleiche Gauss-Kruemmung folgt lokale Isometrie
retzengrahl
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
  Themenstart: 2012-12-07

Hallo Wir hatten die Bemerkung in der Vorlesung, dass wenn zwei Flächen isometrisch sind, diese zwei dann die gleiche Gauss Krümmung haben. Aber aus gleicher Gauss-Krümmung folgt nicht Isometrie der Flächen, oder? Oder folgt dann die lokale Isometrie, nein auch nicht? Grüsse


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Kofi
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.08.2010
Mitteilungen: 902
  Beitrag No.1, eingetragen 2012-12-07

Bei Flächen bestimmt die Gausskrümmung den Riemann-Tensor, das heißt, sie trägt alle Krümmungsinformationen. Was du nun sagen willst, ist nicht so ganz klar. Richtig ist zum Beispiel, dass wenn die Gausskrümmung verschwindet, so ist die Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zum R2. Aber nur lokal, Gegenbeispiele sind der Torus oder der Zylinder. Was auch korrekt ist: Sind zwei Flächen diffeomorph und stimmt die  an je zwei durch den Diffeo identifizierten Punkten überein, so ist der Diffeomorphismus sogar eine isometrie.


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Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
  Beitrag No.2, eingetragen 2012-12-07

Ich habe keine Ahnung von Differentialgeometrie, aber ein Blick auf den Wikipedia-Artikel zeigt bereits, dass die Frage nicht wohldefiniert ist. Die Gauß-Krümmung hängt nicht nur von der Fläche, sondern auch von dem Punkt ab, wo man sie misst. Für manche Punkte kann sie positiv, für andere Punkte kann sie negativ sein. Damit die Frage Sinn macht, müsste man also entweder sogar fordern, dass die Gauß-Krümmung konstant ist (dann lautet die Antwort aber Nein, wie Beispiele 2 und 3 im Wikipedia-Artikel zeigen), oder eine (gutartige) Abbildung zwischen den Flächen verlangen, bezüglich der man dann die Gauß-Krümmungen vergleicht. Und ein positives Resultat in dieser Richtung hat Kofi bereits genannt. [Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Differentialtopo/-geometrie' von Martin_Infinite]


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
  Beitrag No.3, eingetragen 2012-12-07

\quoteon(2012-12-07 10:28 - Kofi in Beitrag No. 1) Was auch korrekt ist: Sind zwei Flächen diffeomorph und stimmt die *** an je zwei durch den Diffeo identifizierten Punkten überein, so ist der Diffeomorphismus sogar eine isometrie. \quoteoff Hi Kofi & retzengrahl, an der von mir mit Sternen markierten Stelle muß wohl das Wort "Gauß-Krümmung" eingefügt werden, das hat Kofi leider vergessen. Gruß Buri


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retzengrahl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
retzengrahl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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