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 Induzierte Metrik |
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Bili
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.11.2009
Mitteilungen: 194
 |  Themenstart: 2012-12-07
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Hi Guys,
Ich habe ein kleines Verständnisproblem mit der Definition der induzierten Metrik:
\
Sei M eine eingebettete Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (N, h), das heißt M \subset\ N und die Inklusionsabbildung i : M \textrightarrow N, i(p) := p ist eine differenzierbare Einbettung. Dann wird durch i^\* h =: g eine Riemannsche Metrik auf M erzeugt. Diese nennen wir die durch h auf M
induzierte Riemannsche Metrik.
Der Pullback ist doch nun aber wie folgt definiert:
\
i^\* h(u,v) := h_(i(x)) (di_x(u), di_x(v))
richtig? Wenn ja, wie soll ich denn das Differential von i ausrechnen, wenn ich noch garkeinen Abstandsbegriff und damit Ableitungsbegriff auf M kenne?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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Martin_Infinite
Senior 
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-12-07
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Das Differential hat nur etwas mit der glatten Struktur zu tun (schau dir einfach noch einmal die Definitionen an).
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialtopo/-geometrie' von Martin_Infinite]
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Bili
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Mitteilungen: 194
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-07
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Danke dir für deine Antwort,
Ich vermute mal, dass du dich auf den Pushforward beziehst:
hier Diese wird ja als das Differential bezeichnet... Mein Problem ist nur leider, dass ich die Definition nicht so wirklich verstehe.
Was genau soll v(f \circ\ F) bedeuten? Ich verknüpfe f mit F und multiplizierte mit einen Tangentialvektor? Wie soll da bitte eine Ableitung bei rauskommen?
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Martin_Infinite
Senior
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.3, eingetragen 2012-12-08
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Bili
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.11.2009
Mitteilungen: 194
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-08
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Und Martin sprach es werde Licht!, danke dir vielmals! :)
Nur damit ich sicher bin es richtig verstanden habe mal ein Trvialbeispiel:
\
Wir betrachten S^3 \subset R^4 und wollen die vom euklidischen Skalarprodukt auf die S^3 induzierte Metrik bestimmen (Standardmetrik der S^3):
f: S^3 -> R^4, i(x) := x
\big\ Fall 1:
\normal\Nach der Algebraischen Definition ist der Tangentialraum T_x S^3 der Vektorraum der linearen Abbildungen D:C^\inf (S^3) \textrightarrow \IR mit D(gh) = D(g)+h(x)+ g(x)D(h). In diesem Fall gilt also:
T_x S^3 = menge(f |-> sum(v^k pdiff(f,x^k)(x),k=1,4)| v = (v^1, v^2, v^3, v^4) \el\ \IR^4 mit = 0)
Das Differential df_x von f an der Stelle x ist nun durch folgende Gleichung festgelegt: df_x(D)(g) = D(g \circ\ f). Sei also D_v \el\ T_x S^3 (v entspricht dem Vektoren aus \IR^4 nach obiger Definition des Tangentialraumes), dann gilt:
df_x(v) = sum(v^k pdiff(g\circ\ f,x^k)(x),k=1,4) = sum(v^k D_x g pdiff(f,x^k)(x) + v^k D_x f pdiff(g,x^k)(x),k=1,4)
Dies ist nun wieder ein Derivat bzw. wie es sein sollte ein Tangentialvektor df_x(v) \el T_x \IR^4 repräsentiert durch den Vektor v.
Ich nehme jetzt mal an, dass bezüglich dieser Definition des Tangentialsraumes das euklidische Skalarprodukt aus zwei Tangentialvektoren \/ Derivaten einfach das Skalarprodukt aus den beiden die Derivate repräsentierenden Vektoren ist:
g_s := f^\* h(u,v) := h_(f(x)) (df_x(u), df_x(v)) = sum(u^k * v^k, k=1,4)
\big\ Fall 2:
\normal\ Sei \phi eine Karte einer offenen Umgebung U \subset S^3 von x \el S^3. Nach der Geometrischen Definition ist der Tangentialraum an der Stelle x:
T_x S^3 = menge( menge(\gamma:(-1,1) \textrightarrow S^3 diffbar | \gamma(0) = x, (\phi \circ \gamma)'(0) = v) | v \el \IR^4)
Die Tangentialvektoren sind also Äquivalenzklassen von Kurven. Wir wollen einen Tangentialvektor durch [v] \el T_x S^3, wobei v nach obiger Definition die Äquivalenzklasse repräsentiert. Das Differential von f an der Stelel x ist bezüglich dieser Definition des Tangentialraumes gegeben durch: df_x([v]) := (f \circ \gamma_v)'(0), wobei \gamma_v \el [v] beliebig (Ich denke mal das sollte unabhängig von der Wahl von \gamma sein).
Man kann ein solches \gamma_v zum Beispiel über die 4-dimensionalen Kugelkoordinaten einfach definieren. Auch hier gehen wir wieder davon aus, dass das Euklidische Skalaprodukt zweier Tangentialvektoren \/ Äquivalenzklasse das Skalarprodukt ihrer repräsentierenden Vektoren ist. Wir erhalten also:
g_s := f^\* h(u,v) := h_(f(x)) ((f \circ \gamma_u)'(0), (f \circ \gamma_v)'(0)) = <(\gamma_u)'(0), (\gamma_v)'(0) =
Wir haben also reproduziert, dass die Standardmetrik auf der S^3 einfach die Einschränkung des euklidischen Skalarproduktes des R^4 auf den Tangentialraum ist.
Habe ich irgendwo noch Denkfehler gemacht?
[ Nachricht wurde editiert von Bili am 08.12.2012 11:34:24 ]
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