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  cos(x) in komplexe Fourier-Reihe entwickeln |
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Charm
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2004
Mitteilungen: 179
Wohnort: Nürnberg
 |  Themenstart: 2013-02-22
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Hallo Forum,
leider fand ich zu meinem Problem keinen passenden Beitrag bzw. auch googeln half nicht weiter.
Stehe vor der Aufgabe eine schlichte cos(x)-Funktion in einer komplexen Fourier-Reihe zu entwickeln. An sich wohl kein grosses Problem, dachte ich zumindest.
Der Ansatz für den Fourier-Koeffizienten
c_n = 1/2\pi * int(cos(x)*e^(-jnx),x,0,2\pi)
führt nach der Integration auf den Ausdruck
c_n = 1/2\pi * stammf((e^(-jnx)/((-jn)^2 + (1^2)))*(-jn*cos(x) + 1*sin(x)),0,2\pi)
bzw.
c_n = 1/2\pi * stammf(((cos(n*x) - jsin(n*x))/((-jn)^2 + (1^2)))*(-jn*cos(x) + 1*sin(x)),0,2\pi)
Nun entsteht nach Berechnung des Integrals
c_n = 1/2\pi * ((1-0)/(1-n^2)*(-jn + 0) - ((1-0)/(1-n^2)*(-jn + 0)
der Wert 0, was mich irritiert. An sich müsste doch wieder sowas wie cos(x) entstehen.
Irgendetwas scheine ich übersehen zu haben, bin für jeden Tip dankbar der mich weiterbringt.
Grüße
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lulz
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Dabei seit: 13.11.2012
Mitteilungen: 496
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-02-22
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Hi,
Du kannst den Cosinus doch als (Linearkombination von) Exponential-Funktionen ausdrücken. (Was genau der Fourierreihe entspricht)
Und: Musst du wirklich in eine komplexe Fourierreihe entwickeln?
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 22.02.2013 14:24:54 ]
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rlk
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Dabei seit: 16.03.2007
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2013-02-22
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\
Hallo Charm,
für n\notin menge(-1,1) ist das Ergebnis c_n=0 richtig, für n\in menge(-1,1) hast Du eine unerlaubte Umformung verwendet. Wenn Du die den Kosinus durch komplexe Exponentialfunktionen darstellst, kannst Du die gesuchten Fourierkoeffizienten ohne Integration bestimmen.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Fourierreihen' von rlk]
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Charm
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Dabei seit: 15.10.2004
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-02-22
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Hallo!
Okay erstmal danke für die Tipps, werde es mal so wie geschildert versuchen und mich wieder melden wenn ich nicht weiterkomme.
Hintergrund meines Problems ist übrigens dass ich den periodischen Parameter der sog. Mathieu-DGL in einer komplexen Fourier-Reihe entwickeln will.
Grüße
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Charm
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Dabei seit: 15.10.2004
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-02-22
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Hallo!
Also bin mir nicht sicher was für eine Art e-Funktion ihr meint. Etwa
cos(x) = (e^jx + e^(-jx))/2
Allerdings versteh ich nicht warum ich nun ohne Integration auskommen kann. Ich müsste doch nach wie vor in die Formel für den Fourierkoeffizienten c_n einsetzen.
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lulz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.11.2012
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.5, eingetragen 2013-02-22
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Weil das schon eine Linearkombination von e-Funktionen ist. (Genau wie die komplexe Fourierreihe eine Linearkombination von e-Funktionen)
[ Nachricht wurde editiert von lulz am 22.02.2013 21:21:59 ]
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
WurzelMinus1
Junior
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Mitteilungen: 7
|  Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-08
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Hallo,
ich würde die Frage gerne wieder aufleben lassen. Habe gegoogelt und finde nicht genau dieses Beispiel beantwortet
\[\frac{1}{2*pi}\int_{-pi}^{pi}cos(t)*e^{-jk\omega t}dt\]
das ist mein Ansatz, das Integral über cos*sin ist 0, also fällt das weg und man müsste doch nurnoch rechnen:
\[\frac{1}{2*pi}\int_{-pi}^{pi}cos(t)*cos(k\omega t)dt
\]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-08
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Hi WurzelMinus1,
das ist auch 0, wenn k eine ganze Zahl ≠±1 ist. Die Kreisfrequenz ω muss 1 gesetzt werden.
Gruß Buri
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WurzelMinus1
Junior
Dabei seit: 08.12.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-08
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Danke für die Antwort, der Groschen fällt leider nicht so schnell bei mir wie ihre Antwort kam.
D.h. es gibt keine Ck (Koeffizienten)? Oder eben nur zwei bei k = 1 und k = -1? Also die Reihe hat nach einem Glied ihr Ende gefunden? Und wenn ja, was wären dann die bk?
Eine Reihe Fragen 😄
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Buri
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-08
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\quoteon(2022-12-08 19:44 - WurzelMinus1 in Beitrag No. 8)
Oder eben nur zwei bei k = 1 und k = -1? ... was wären dann die bk?
\quoteoff
Hi WurzelMinus1,
ja, die Fourierreihe ist endlich und besteht aus zwei Gliedern.
Es gibt keine bk, bei komplexen Fourierreihen gibt es nur eine Koeffizientenfolge, die üblicherweise ck genannt wird. Bei einer reellen Fourierreihe (diese besteht nur aus dem einen Glied cos x) sind alle Koeffizienten bk gleich 0, das sind die Sinusglieder sin kx (k=1,2,...).
Gruß Buri
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2022-12-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was hier passiert ist so ähnlich wie: "Berechnen Sie die Taylorreihe von \( f(x)=x^2\) in \( x_0=0\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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WurzelMinus1
Junior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-10
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Okay! Super, schonmal danke für die Antworten, ich werde die Frage auch nochmal meinem Prof stellen und meine Erkenntnisse posten. Schönes WE euch :)
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WurzelMinus1
Junior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-12-12
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1/(2*\pi)*int(cos(t),t,-\pi,\pi)*e^(-jk\omega*t)
Mit Hilfe der Euler Identität so: Omega ist Omega von 0
1/(2*\pi)*int(cos(t)*(cos(k*\omega*t)-j*sin(k*\omega*t)),t,-\pi,\pi))
Weil das Integral von dem Produkt von sin und cos 0 ergibt fällt der imaginäre Teil weg dann:
1/(2*\pi)*int(cos(t)*(cos(k*\omega*t)),t,-\pi,\pi))
Ja und wie jetzt weiter? Ich kann das noch umschreiben mit Hilfe von
cos(x)*cos(y) = 1/2 * (cos(x+y)+cos(x-y))
zu
1/(4*\pi)*int(cos(t*(1+k*\omega))+cos(t*(1-k*\omega)),t,-\pi,\pi)
und spätestens wenn ich die einzelnen Summanden Integriere erhalte ich doch sin
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Wally
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Buri hat dir schon geschrieben, dass \( \omega=1\) sein muss. Warum ignorierst du das?
Und dann rechne das Integral mal aus (der ersten Summand im Integral reicht zum ausprobieren). Und teile nicht durch Null :)
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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WurzelMinus1
Junior
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-12-12
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Vermutlich weil ich nicht verstehe warum? Vllt weil Omega ja (2*pi)/T ist und T = 2*pi
Dafür ein kleiner Durchbruch :D
stammf((sin(t*(1+kw))/(1+kw)),-\pi,\pi
da man immer pi Ganze einsetzt kommt 0 raus. richtig?
Dann bleibt ja nurnoch k=0 übrig, genannt a0. In meinen Unterlagen steht, dass sei seperat zu berechnen als Integral der Funktion über eine Perioden Dauer. Also: 1/\pi*int(cos(t),t,-\pi,\pi)
was aber dann auch 0 ist. Ok, ist ja auch erwartet.
k = 1 und k = -1 passen dann noch nicht
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WurzelMinus1
Junior
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-12-15
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Hab es jetzt rechnen können. Puh, schlaflose Nächte hat mir das beschert. Als Aufklärung, wenn es nochmal jemand googelt:
Der Trick lag noch bei dem Anwenden von L'hospital, wenn man durch Null teilt. Dann nimmt man den Grenzwert von k gegen -1 oder k gegen 1. Dann kommt für C-1 = 1/2 raus und für C1 = 1/2 bei den restlichen k bleibt es bei 0 und der Gleichanteil ist auch 0.
Und wenn man mit (1/T)*int(cos(t*w)*e^(-jkwt),t,-T/2,T/2)
startet, muss man auch kein Omega = 1 setzen ohne es zu kapieren. Bei dem Ansatz fällt das T auch nach dem Einsetzen der Grenzen ins Integral weg denn
w*(T/2) = (2*pi)/T * (T/2) = pi
tschüssi
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Wally
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-12-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Au Mann, rückwärts durch die Brust ins Auge :)
\( \frac{1}{4\pi}\int_{\pi}^\pi \cos ((1+k\omega)t)\, dt\)
mit \( \omega=1\) und \( k=-1\)
\( =\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi \cos 0\, dt\)
\( =\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi1\, dt\)
\( =\frac{1}{4\pi}\cdot 2\pi=\frac{1}{2}\)
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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WurzelMinus1
Junior
Dabei seit: 08.12.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.17, eingetragen 2022-12-22
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Ah nice, das hätte mir vor 10 Tagen gut geholfen :) Danke für's ergänzen, ist mir jetzt auch einsichtigt geworden.
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