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  Beweis des Sinussatzes im stumpfwinkligen Dreieck |
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Laufwurm
Neu 
Dabei seit: 04.03.2013
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2013-03-04
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Hallo liebe Leute,
habe mich gerade hier angemeldet, weil ich mit einem Problem einfach nicht mehr weiterkomme:
Ich möchte/soll am kommenden Mittwoch (übermorgen) in einer 10. Klasse (Gesamtschule) den Sinussatz einführen und will mit den SuS auch den entsprechenden Beweis erarbeiten. Für ein allgemeines Dreieck bei dem alle Winkel kleiner als 90° sind ist das auch überhaupt kein Problem - allerdings komme ich beim stumpfwinkligen Dreieck einfach nicht weiter - aus folgendem Grund:
Sie SuS kennen die trigonometrischen Funktionen bisher nur als Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken, d.h. Sinus ist der Quotient $\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$ - und nur dieser!
Alle Beweise, die ich bisher gefunden habe, verwenden aber, dass
sin(180-$\beta$) = sin($\beta$)
- aber woher sollten die SuS das wissen?
Ich wäre euch sehr dankbar für einen Hinweis auf einen alternativen Beweis oder eine (für die SuS geeignete) Erläuterung der Gleichung
sin(180-$\beta$)=sin($\beta$)
...natürlich aufbauend auf dem Vorwissen der SuS. ;)
Danke schön!
Matthias a/k/a Laufwurm
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FriedrichLaher
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-03-04
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Hallo Laufwurm,
also ohne die Def. der Winkelfunktionen am Einheitskreis einzuführen
wird das nicht gehen
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Laufwurm
Neu
Dabei seit: 04.03.2013
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-04
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Hallo FriedrichLaher,
vielen Dank für deine Antwort - ich hatte es fast befürchtet. Leider unterrichte ich in der Klasse auch nicht regelmäßig, sondern habe nur im Rahmen eines Praktikums einige Stunden in dem Kurs übernommen. Die Wahl des Zugangs über die Seitenverhältnisse habe ich auch nicht selbst ausgesucht und auch, dass als nächstes Thema der Sinussatz drankommen soll, habe ich nicht entschieden... naja, aber so ist das halt.
Für einen Zugang über den Einheitskreis werde ich wohl nicht genügend Zeit haben, aber ich tue mich trotzdem schwer mit dem Gedanken den SuS die Formel einfach (unvermittelt) mitzuteilen und direkt zu der Anwendung überzugehen.
Vielleicht hat ja noch irgendjemand eine Idee, wie man an die beschriebene Situation didaktisch herangehen könnte?
Wäre sehr dankbar für etwas Input (auch wenn die ursprüngliche Frage wohl beantwortet ist).
Im Notfall würde ich den Beweis nur für die spitzwinkligen Dreiecke machen und das Problem für stumpfwinklige Dreiecke thematisieren (und dann vorgeben, dass die Formel dort auch gilt).
[ Nachricht wurde editiert von Laufwurm am 04.03.2013 20:28:00 ]
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Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2013-03-04
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Hi Laufwurm,
auch von mir ein herzliches Willkommen auf dem Matheplaneten.
Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Innenwinkel kleiner als 90°.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Innenwinkel größer als 90°.
Vergiss also bei deiner Beweisführung nicht das rechtwinklige Dreieck.
Noch eine Frage: Stammt diese graußliche Abkürzung SuS aus dem Amtsdeutsch oder von dir?
Gruß
Rebecca
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FriedrichLaher
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2001
Mitteilungen: 1923
Wohnort: Wien,Oesterr., Wohnort Stuttgart
| Beitrag No.4, eingetragen 2013-03-04
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möge mich jemand eines besseren Belehren, aber es ist doch wirklich
eine - sinnvolle - Definitionssache;
man
kann wohl auch auf den Einheitskreis verzichten, denn wie die Höhe auf
die Seite c zu berechnen ist wenn β > 90° wird, werden die Schüler
doch leicht erkennen können ?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Laufwurm
Neu
Dabei seit: 04.03.2013
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-04
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Hallo auch an dich, Rebecca!
Stimmt, die rechtwinkligen Dreieicke habe ich bisher ignoriert, aber da habe ich natürlich ein ähnliches Problem, wie bei den stumpfwinklingen.
Aber da kennen die SuS zumindest den Pythagoras und die Seitenverhältnisse, die durch die trigonometrischen Funktionen gegeben sind. Für einen vollständigen Beweis müsste ich das natürlich trotzdem einbeziehen.
"SuS" ist übrigens keine Erfindung von mir, sondern eine übliche Bezeichnung an der Uni und in pädagogischen und fachdidaktischen Texten... ;)
@FriedrichLaher:
Stimmt, fehlende Angaben in einem stumpfwinkligen Dreieck könnten mit dem Sinussatz für die beiden spitzen Winkel (den kann man ja beweisen) und den sonstigen Vorkenntnissen berechnen... Die SuS bräuchten den uneingeschränkte Gültigkeit des Sinussatzes also nicht unbedingt.
Aber wenn ich gesagt bekommen habe, ich solle den Sinussatz einführen, dann ist damit wohl gemeint, dass der (auch für die SuS) in allen Dreiecken gelten soll... Aber ich werde das morgen mal mit der Lehrerin absprechen. :)
Vielen Dank auf jeden Fall für eure Hilfe. Ihr habt mich vor einem frustrierten Abend am Schreibtisch bewahrt! :)
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Laufwurm hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Laufwurm hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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