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 Riemann- vs. Darboux-Integral |
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fermat78
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2011
Mitteilungen: 230
 |  Themenstart: 2013-04-04
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Hallo Leute,
ich habe eine Frage zur Einführung der Flächenbereichnung. Die Definitionen sind eigentlich klar. Bei der Suche stößt man sowohl auf die klassische Herleitung über die Ober- und Untersumme von Rechtecken und die Grenzwertbetrachtung der Beiden, bei der beide Summen gegen den gleichen Grenzwert laufen. Bei dieser Definition bin ich immer davon ausgegangen, dass es das Riemann-Integral sei. Scheint aber nicht so zu sein, sondern wird einem Jean Gaston Darboux zugeschrieben, obwohl der Begriff als Riemann Integral in der Schule eingeführt wird. Ok, soweit so gut. Nun habe ich auch die Definition von der Riemann-Summe gesehen (Riemann-Integral), die keine Ober- und Untersummen betrachtet, sondern zu einer beliebigen Zerlegung und unabhängig von den gewählten Zwischenstellen (innerhalb der jeweiligen intervalle) unterschiedlich große Rechtecke betrachtet. Dabei ist die Feinheit der Zerlegung bei der Grenzwertbetrachtung entscheidend. Auch hier wird dann über die Summe der Zerlegung der Grenzwert betrachtet
Ich würde gerne verstehen, ob es nun einen Unterschied ( nach meinem Verständnis gibt es einen, was nichts heißen muss) zwischen beiden gibt oder nicht und warum sie trotzdem oft gleich gestellt werden.Ist
Viele Grüße und danke im Voraus!
fermat78
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Calculus
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Mitteilungen: 6086
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-04-04
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egndgf
Senior
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
| Beitrag No.2, eingetragen 2013-04-04
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Hallo,
für reellwertige Funktionen sind beide Integrale gleich, d.h. Riemann-integrable Funktionen sind Darboux-integrabel und umgekehrt und die Integrale stimmen (im Existenzfall) überein. Der Ansatz mit Ober- und Untersummen stammt von Darboux und wird (wahrscheinlich wegen vermuteter Anschaulichkeit) im Schulunterricht verwendet. Das ist übrigens gar nicht so schwer zu beweisen: Da sich alle Riemann-Summen bei hinreichender Feinheit der Zerlegung vom Riemann-Integral nur beliebig wenig unterscheiden, gilt das aufgrund der freien Wahl der Stellen, an denen die Funktion ausgewertet wird, auch für die Ober- und Untersummen, womit die Darboux-Definition gezeigt wurde (mit gleichem Integralwert); umgekehrt gibt es im Falle der Darboux-Integrabilität eine Zerlegung in n Teile, so dass die dazugehörenden Ober- und Untersumme sich um höchstens $\varepsilon$ unterscheiden; da Darboux-integrabele Funktionen (durch C) beschränkt sind (im Falle der Unbeschränktheit nach oben ist jede Obersumme $+\infty$ (falls man sie überhaupt definiert), analog bei Unbeschränktheit nach unten)), kann man $\delta=\frac{\varepsilon}{2nC}$ setzen; jede Riemann-Summe zu einer Zerlegung der Feinheit $<\delta$ unterscheidet sich dann höchstens um $3\varepsilon$ von dem Darboux-Integral (mach dir das einmal am Graphen klar; vielleicht willst du dich sogar an einem Beweis versuchen?).
Die Definition von Riemann ist übrigens verallgemeinerungsfähiger als die von Darboux: Die Darboux-Definition setzt voraus, dass man Suprema und Infima bilden kann -- das kann man aber zum Beispiel schon bei vektorwertigen Funktionen nicht, denn die sind ja gar nicht geordnet! Wenn man also die Darboux-Integrierbarkeit von vektorwertigen Funktionen definieren will, müsste man das über die Koordinatenfunktionen machen; beim Riemann-Ansatz kann man es gleich auf einmal definieren.
MfG
egndgf
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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fermat78
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Dabei seit: 14.02.2011
Mitteilungen: 230
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-04
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Danke für Eure Antworten!
@ egndgf: werde mir deine ausführliche Antwort in Ruhe anschauen und mich gegebenfalls nochmal melden! Vielen Dank!
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