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  Reelle Zahlen "mischen" |
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Gryphius
Junior 
Dabei seit: 03.03.2004
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2004-03-03
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Hi Leute!
Hab' mir neulich Gedanken darüber gemacht, ob es irgendwie möglich ist, die Reellen Zahlen so in zwei Mengen S und T aufzuteilen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, eine beliebige reelle Zahl aus Menge S auszuwählen, gerade 1/2 ist. Genauer: egal welches offene Intervall I in R ich betrachte, stets soll die Wahrscheinlichkeit dafür, ein element aus S zu bekommen (wobei ich aus I das Element herauspicke) gerade 1/2 sein.
Ein andersherum Verwandter der Frage ist: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus R ausgewähltes Element ein Bruch, also rational ist.
Ich sehe hier zwei Möglichkeiten:
1. Die Wahrscheinlichkeit ist 0, da Q in R eine Nullmenge ist.
2. Die Frage ist blödsinnig.
Falls 2. zutrifft interessiert mich natürlich, warum man die Frage nicht behandeln kann.
Falls weder 1. noch 2. zutrifft bin ich auch gespannt.
Bin übrehaupt gespannt, was ihr dazu meint.
Grüßlies!
Gryphius
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-03-03
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Hi!
Zu deiner ersten Frage:
Für die reellen Zahlen ist solch eine Partition vermutlich nur ziemlich schwer (wenn überhaupt) aufzufinden.
Versuchen wir es doch erstmal mit den rationalen Zahlen:
Da kann man aufteilen in diejenigen, die in gekürzter Form ungeraden Nenner haben, und diejenigen mit geradem Nenner. Diese Partition sollte die Bedingung für Q erfüllen.
Zur zweiten: Dee Wahrscheinlichkeit ist 0, weil Q eine Nullmenge ist.
Gruß
Fabi
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2004-03-03
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Hi,
zur ersten Frage:
Wenn man eine reelle Zahl zufällig auswählt, dann hat sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 das positive Vorzeichen, bzw das negative. Unterteilt man IR also in die negativen und nicht-negativen Zahlen, so erfüllt diese Partition doch das gewünschte, oder hab ich da was falsch verstanden?
beste Grüße
Siah
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Gryphius
Junior 
Dabei seit: 03.03.2004
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-03-03
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Fabi,
danke für Deine Antwort! Das mit den rationalen Zahlen und un/geraden Brüchen ist einleuchtend.
Ich vermute, dass das Problem auf R ausgeweitet nicht lösbar ist.
Schränken wir R etwa auf [0,1] ein und suchen eine Teilmenge S von [0,1], so dass für alle offenen Intervalle I in [0,1] gilt: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus I gewähltes Element in S liegt ist 1/2.
Dann ist S nicht Lebesgue-meßbar (was aus Beispiel ii auf S. 46 von Carsten Schütt's Maßtheorie-Skript folgt).
Ich bin mir allerdings nicht ganz über mögliche Konsquenzen ("folgt daraus bereits Unmöglichkeit einer Konstruktion?") dieser Erkenntnis im klaren.
Grüßlies!
Gryphius
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Gryphius
Junior
Dabei seit: 03.03.2004
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-03-03
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2004-03-03 22:29: Siah schreibt:
Unterteilt man IR also in die negativen und nicht-negativen Zahlen, so erfüllt diese Partition doch das gewünschte...?
Siah,
wenn das "Genauer" nicht wäre, ja. Aber auch dann, wenn ich zB nur aus Intervall ]7,13[ eine beliebige reelle Zahl wähle, soll die Wahrscheinlichkeit, dass si in der gesuchten Menge S liegt, noch 1/2 sein.
Grüße,
Gryphius
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shadowking
Senior 
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.5, eingetragen 2004-03-03
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Hallo,
Gryphius meint nicht nur, dass die Wahrscheinlichkeit für
eine beliebig aus \IR = T \union S gewählte Zahl, aus T bzw. aus S
zu sein, je 1/2 ist, sondern möchte dies verschärfen für jedes
Intervall I:
Für jede beliebig aus I gewählte Zahl s soll die Wahrscheinlichkeit,
dass s aus I \cut S bzw. I \cut T ist, 1/2 sein.
Habe ich das richtig verstanden und präzisiert, Gryphius?
Mir fällt auch kein Kriterium ein, nach dem in endlicher Zeit
entscheidbar wäre, ob s bei beliebigem I in I \cut S oder in I \cut T
liegt. Ich halte das für nicht möglich, denn:
Will man das Kriterium mit endlich vielen Dezimalstellen
testen, gibt es eine höchste verwendete Stelle, und da gibt es wieder
Intervalle, die so klein sind, dass alle Elemente auf diesen Stellen
identisch sind. Damit erfüllen alle Zahlen aus so einem Intervall
sicher auch das Kriterium für eine der Partitionen und keine das für
die andere.
Was meint ihr?
Gruß shadowking
-----------------
Das Problem der meisten Superhelden ist,
dass sie glauben, sie müssten die Welt retten,
um etwas Anerkennung zu bekommen.
[ Nachricht wurde editiert von SplendourMN am 2004-03-03 22:46 ]
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
|  Beitrag No.6, eingetragen 2004-03-03
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Achso hoppla, da hätte ich mal "genauer" lesen sollen :-)
beste Grüße
Siah
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adven
Senior
Dabei seit: 27.07.2002
Mitteilungen: 877
 | Beitrag No.7, eingetragen 2004-03-03
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wenn IR abzählbar wäre, wäre es wohl möglich. da dem aber nicht so ist, wüsste ich nicht wie man das so arrangieren sollte...
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Gryphius
Junior
Dabei seit: 03.03.2004
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-03-03
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2004-03-03 22:45: SplendourMN schreibt:
Habe ich das richtig verstanden und präzisiert, Gryphius?
Auf jeden Fall.
Zu dem Entscheidungskriterium: ja, die Problematik liegt eher jenseits des Berechenbaren. Die Mächtigkeit der S und T muß überabzählbar sein (sonst wär eine Nullmenge dabei), somit scheidet rekursive Aufzählbarkeit o.Ä. generell aus.
Ich denke eher an etwas Analoges zur Konstruktion der Cantor-Menge, die ja auch überabzählbar ist, aber trotzdem ganz gut bescheib- und untersuchbar.
Es gibt ja so viele verrückten Konstruktionen (wie zB überall stetige aber nirgends differenzierbare Funktionen), warum sollte die gesuchte Menge nicht auch irgendwie besser eingrenzbar, beschreibbar sein. Wo genau liegen die Grenzen, das interessiert mich daran so stark.
Guads Nächdle
Gryphius
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.9, eingetragen 2004-03-03
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Ich denke, eine solche Aufteilung wird es nicht geben.
Man kann zwar zeigen, daß pi und e irrational (ja sogar transzendent) sind, aber wie sollte man sie bei solch einer löchrigen Aufteilung ohne Kenntnis ALLER Ziffern eindeutig S oder T zuordnen?
Man kann S und T vielleicht beschreiben, aber die Zuordnung einer konkreten Zahl dürfte i.a. unmöglich sein.
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.10, eingetragen 2004-03-04
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Hi Gryphius,
ein herzliches Willkommen auf dem Planeten!
Was für eine schöne Frage hast du gestellt!
@Siah
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl aus dem Intervall [-1,2] positiv ist, ist 2 / 3 und nicht 1 / 2, deine Einteilung leistet also nicht das Gewünschte.
@Gryphius
Es genügt, eine solche Einteilung für alle Zahlen aus dem Intervall (0,1] zu finden. Jede Zahl aus (0,1] kann eindeutig als Bruch im Dualsystem, also als eine Folge von 0 und 1 dargestellt werden, wobei unendlich viele Einsen vorkommen müssen.
Man kann nun die "Dichte" der Nullen und Einsen betrachten, für jede Zahl x aus (0,1] existieren die Zahlen
p(x)=liminf(n->\inf,(Anzahl der Einsen in den ersten n Stellen des Dualbruchs für x)/n) und
q(x)=limsup(n->\inf,(Anzahl der Einsen in den ersten n Stellen des Dualbruchs für x)/n)).
@alle
Ich schlage vor, als S die Menge der x mit p(x) + q(x) < 1 und als T die Restmenge zu nehmen, ob das geht? 
Gruß Buri
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
|  Beitrag No.11, eingetragen 2004-03-04
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@Buri: Ja, ich hatte leider nicht weit genug gelesen.
beste Grüße
Siah
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huepfer
Senior
Dabei seit: 19.11.2003
Mitteilungen: 6882
Wohnort: Münster/ eigentl. Allgäu
 | Beitrag No.12, eingetragen 2004-03-04
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Hallo,
mein Post mag so wie ich das schreibe vielleicht arrogant oder ignorant klingen, ist aber auf keinen Fall so gemeint.
Wenn wir jetzt erstmal die konkrete Berechenbarkeit außer Acht lassen, also nicht wirklich feststellen wollen, ob pi nun in S oder T liegt, sehe ich das erst mal nicht so undenkbar, dass diese Einteilung tatsächlich möglich ist. Wie Buri bin ich auch der Meinung, dass man das ganze auch auf das Intervall (0,1] einschränken kann. Wenn es dort klappt, klappt es wohl auch mit allen reellen Zahlen.
Leider kann ich Buris Vorschlag nicht ganz nachvollziehen. Auch wenn mir in etwa klar ist, wie p(x) oder q(x) bestimmt werden sollen, ist mir nicht wirklich klar, was er mit den Zahlen meint. Daher ist es mir auch absolut unmöglich den Vorschlag zu verifizieren oder zu falsifizieren.
Gruß
Huepfer
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.13, eingetragen 2004-03-04
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Hi huepfer,
kein Problem, das klingt gar nicht arrogant.
Eben dies, den Vorschlag zu veri- oder falsifizieren, ist mir ja auch noch nicht gelungen, daher habe ich mich auch an die MP-Gemeinde gewandt.
Wenn ich nichts übersehen habe, müßte man zeigen können, dass meine Mengen S und T Borelmengen sind. Sie sind aber von komplizierterer Art als alle Borelmengen, die ich bisher sah.
Man müßte mal sehen, in welcher Baire-Klasse diese Mengen liegen, es kann nicht allzu hoch sein (1 oder 2 tippe ich), aber es kommt hier ganz genau darauf an, was man als Baire-Klasse 0 annimmt, es gibt da verschiedene Möglichkeiten...
Wegen der unterschiedlichen Nutzungszeiten der MP-User lassen wir am Besten nochmal 24 Stunden verstreichen, dann sehen wir weiter.
Gruß Buri
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.14, eingetragen 2004-03-04
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Hi!
Ich hätte noch einen anderen Vorschlag zu machen:
Betrachte die Äquivalenzrelation
s ~ r <-> s/r ist rational
auf den reellen Zahlen.
Sei M die Menge der Äquivalenzklassen dieser Relation.
Aus jeder Äquivalenzklasse A fixiert man ein beliebiges Element sA (hier kommt auch das Auswahlaxiom ins Spiel) und teilt A dann in 2 Mengen auf:
Setze
A1 = {a aus A | a/sA = p/q mit natürlichen teilerfremden p,q und q ungerade}
Jetzt kann man
T = union(A_1,A \el M)
setzen. Dieses T sollte die Bedingung auch erfüllen.
Aber wie beweist man sowas? :-?
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2004-03-04 13:48 ]
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Daiquiri
Senior
Dabei seit: 26.01.2004
Mitteilungen: 724
Wohnort: NRW
 | Beitrag No.15, eingetragen 2004-03-04
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Hallo zusammen,
vielleicht verstehe ich das Problem falsch, aber ich denke es ist mit der folgenden Annahme äquivalent, oder?
Ann.: \exists S \subset [0,1] \forall J [Intervall] \subset [0,1]: \lambda(J\cut S)=\lambda(J\cut S^c).
(\lambda soll das Lebesgue-Maß sein, S^c das Komplement von S.)
Sei 0<\epsilon<1 beliebig. Die Annahme bedeutet, dass S meßbar ist
und sich mit J_n=] a_n , b_n ], a_n=1)<=\lambda(S)/\epsilon .
Dann ist
\epsilon*sum(\lambda(J_n),n>=1)<=\lambda(S)=\lambda(S\cut vereinigung(J_n,n))=\lambda(vereinigung((S\cut J_n ),n))<=sum(\lambda(S\cut J_n),n).
Also muss es ein m geben, so dass
\epsilon*\lambda(J_m)<=\lambda(S\cut J_m).
Damit ist
\lambda(J_m)=\lambda(S^c\cut J_m)+\lambda(S\cut J_m)=2*\lambda(S\cut J_m)>=2\epsilon \lambda(J_m).
Da \epsilon beliebig aus ]0,1[ war, muss \lambda(J_m)=0 sein, was einen Widerspruch ergibt.
Anders gesagt kann es eine derartige Menge, für die ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit den geforderten Eigenschaften existiert, nicht geben. Und wenn man äußere Maße \mu zulässt, dann lässt sich alles mögliche finden, sogar Mengen mit
\m(S)=\m(S^c)=1.
Grüße, Daiquiri
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huepfer
Senior
Dabei seit: 19.11.2003
Mitteilungen: 6882
Wohnort: Münster/ eigentl. Allgäu
| Beitrag No.16, eingetragen 2004-06-26
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*push*
besteht denn eigentlich noch Interesse von irgendeiner Seite an dieser Frage?
Gruß
Felix
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