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  Überprüfung meiner Ideen: Reduktion der Ordnung einer DGL |
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Ex_Senior
 |  Themenstart: 2013-04-23
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Hallo,
ich habe mal eine kleine Verständnisfrage zum "Ablauf" dieser Aufgabe:
Transformieren Sie die DGL
$y''' -y'' -2y'=0$
auf ein System 1. Ordnund und bestimmen Sie ein Fundamentalsystem sowohl für dieses System als auch für die gegebene skalare Gleichung.
Wie lautet die allgemeine Lösung der skalaren Gleichung?
Die Transformation erhalte ich, wenn ich $y:=u_1$ und $u_{1}'=u_2$, $u_{2}'=u_3$ und $u_{3}' = 0u_1 +2u_2 +1u_3$ setze. Das lineare System kann ich jetzt in eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ schreiben (das ist ja nicht mal nötig).
Um die skalare Gleichung zu lösen, berechne ich die Nullstellen meines charackteristischen Polynoms und erhalte, dann einen Ansatz für mein Fundamentalsystem der Form $F=\{e^{n_{1} t},\dots \}$. Dabei betrachtet man die Vielfachhet der Nullstelle usw. ($n_1$ ist Nullstelle).
Um mein Fundamentalasystem für die DGL 1. Ordnung $u' = Au$ zu bestimmen, berechne ich die Eigenvektoren von $A$.
Dann habe ich wieder einen Ansatz für meine Lösungen der Form: ($v_i$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $\lamda_i$ der Matrix $A$)
$v_i \cdot e^{\lamda_i},\dots$ und wenn ich alle Lösungsvektoren (als Spaltenvektoren nebeneinander in eine Matrix schreibe erhalte ich mein Fundamentalsystem $F$.
Die allgemeine Lösung wäre dann $c\cdot F$.
Ich habe mir mal gespart, alles durchzurechnen, da es mir nur um das Prinzip geht. Sind meine Überlegungen so stimmig?
LG Niklas
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-04-23
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Ja,
wenn das so gefordert ist, dann ist das so richtig. Bei diesem Problem, linear mit konstanten Koeffizienten, ist aber der Übergang zum System erster Ordnung nicht erforderlich, das charakteristische Polynom erhält man auch direkt aus dem Exponentialansatz.
Ciao, Lutz
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Ex_Senior
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-23
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Ja, das hat mich auch ein wenig stutzig gemacht, da man es ja viel eleganter Lösen kann.
Dann danke ich dir für's Lesen!
LG Niklas
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Ex_Senior hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ex_Senior hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 16:09 U <
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