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| Autor |
  Lineare DGL und Variationsansatz |
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Ex_Senior
 |  Themenstart: 2013-07-17
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Hallo!
Ich möchte die
'gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten'
$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_2 y'' + a_1 y + a_0 = 0 $
rein mechanisch lösen, also ohne Verwendung von bekannten Vorgehensweisen aus der linearer Algebra, und zwar durch den
(1) Variationsansatz $\underline{y = e^{\lambda x} \varphi(x)}$,
mit einem zunächst nicht festgelegten Faktor $\varphi(x)$.
(2) Mit Hilfe der Leibnizschen Produktregel $(uv)^{(N)} = \sum_{K=0}^N \binom{N}{K} u^{(K)} v^{(N-K)}$ für Ableitungen höherer Ordnung eines Produkts wird:
$y^{(k)} = \sum\limits_{p=0}^k \binom{k}{p} (e^{\lambda x})^{(k-p)} \varphi^{(p)}(x) $
$\Rightarrow y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^k \underbrace{ \binom{k}{p} \lambda^{(k-p)} }_{(\ast)} \varphi^{(p)}(x) $
(3) Mit Hilfe der Formel $\left( x^N \right)^{(K)} = K! \binom{N}{K} x^{N-K} $ für die höhere Ableitung der Potenzfunktion, kann $(\ast)$ umgeschrieben werden:
$ y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} (\lambda^k)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
mit der $p$-ten Ableitung von $\lambda^k$ nach $\lambda$.
(4) Mit Hilfe der Faktorenregel wird
$ a_k y^{(k)} = (a_k y)^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} (a_k \lambda^k)^{(p)} \varphi^{(p)}(x)$.
(5) Für die DGL
$0 = a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_2 y'' + a_1 y + a_0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} $
wird also
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} (a_k \lambda^k)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
(6) Vertauschung der Summation und Verwendung der Summenregel
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} \left( \sum\limits_{k=0}^n (a_k \lambda^k) \right)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
(7) Dann stünde hierin das char. Polynom
$a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k \lambda^k = P(\lambda)$,
und zwar in der Form
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} P^{(p)}(\lambda) \varphi^{(p)}(x) $
(8) Rauskommen sollte aber sowas wie
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} P^{(k)}(\lambda) \varphi^{(k)}(x) $
:-?
----------------
Kann mir jmd. auf die Spünge helfen?
Gut möglich, daß im o.g. Fehler stecken...
Danke fürs Lesen und das Interesse!
[ Nachricht wurde editiert von cis am 17.07.2013 21:37:24 ]
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rlk
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2013-07-17
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Hallo cis,
der Übergang von (5) auf (6) ist falsch, die Summationsgrenze für die Summe über p hängt von k ab, daher kannst Du die beiden Summen nicht "mechanisch" vertauschen.
Die Doppelsumme läuft über das durch
$\displaymath 0\leq k \leq n \land 0\leq p\leq k$
definierte Dreieck, Du kannst es aber auf ein Quadrat erweitern, weil für $p>k$ die Ableitung $(\lambda^k)^{(p)}=0$ wird.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
Falls das Hähnchen mit der Erdnuss-Marinade nicht geklappt hat, versuche vielleicht einmal Saté ;-)
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Ex_Senior
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-07-18
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\quoteon(2013-07-17 22:19 - rlk in Beitrag No. 1)
für $p>k$ die Ableitung $(\lambda^k)^{(p)}=0$ wird.
\quoteoff
Da hätte man mal drauf kommen sollen :-o Danke.
Das Dumme ist, zwischendurch hatte ich sogar mal an sowas gedacht und dann wieder den Fehler woanders gesucht...
Also dann müssen die Schritte, ich hoffe jetzt korrekt, heißen:
__________________________________
(5) ....
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{p=0}^k \frac{1}{p!} (a_k \lambda^k)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
(6*) Da $k \le n$ und für $p > k \Rightarrow (\lambda^k)^{(p)} = 0$, kann die $p$-Summe umgeschrieben werden zu
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{p=0}^n \frac{1}{p!} (a_k \lambda^k)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
(6**) Vertauschung der Summation und Verwendung der Summenregel
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^n \frac{1}{p!} \left( \sum\limits_{k=0}^n (a_k \lambda^k) \right)^{(p)} \varphi^{(p)}(x) $
(7) Hierin entliest man das charakteristische Polynom
$a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k \lambda^k = P(\lambda)$,
und zwar in der Form
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{p=0}^n \frac{1}{p!} P^{(p)}(\lambda) \varphi^{(p)}(x) $
(8*) Umbenennung $p \rightarrow k$ auf der rechten Seite liefert endlich
$ 0 = \sum\limits_{k=0}^n a_k y^{(k)} = e^{\lambda x} \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} P^{(k)}(\lambda) \varphi^{(k)}(x) $
__________________________________
Ist Schritt (6**) so korrekt?
\quoteon(2013-07-17 22:19 - rlk in Beitrag No. 1)
Falls das Hähnchen mit der Erdnuss-Marinade nicht geklappt hat, versuche vielleicht einmal Saté ;-)
\quoteoff
Ja, asiatische Gerichte, probiere ich aus Prinzip ;-)
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rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2013-07-18
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Hallo cis,
ja, Schritt 6** sieht gut aus.
Schönen Abend,
Roland
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-07-19
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Ex_Senior hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ex_Senior hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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