Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Zusammenhang zwischen Integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Zusammenhang zwischen Integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion
jannna
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.05.2003
Mitteilungen: 2160
Herkunft: Hannover
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-03-19


Hallo

Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Existenz einer Stammfunktion und Integriebarkeit?


Aussage eines Profs: nicht jede Funktion die eine Stammfunktion hat ist integrierbar und umgekehrt.

Mir scheint das ein bischen komisch...

Jana



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
SchuBi
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Herkunft: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-03-19


Hallo, Janna!
Das hängt zum einen von deiner Definition der Integrierbarkeit ab z.B. Riemann-integrierbar oder Lebesgue-integrierbar.
fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Daiquiri
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.01.2004
Mitteilungen: 724
Herkunft: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2004-03-20


Hallo Jana,

wenn ich Schubi ergänzen darf...

Der Begriff der Stammfunktion ist ja ganz simpel: Gibt es zu unserem f eine Funktion F die differenzierbar ist und für die F'=f gilt, haben wir eine Stammfunktion.

Bei der Integrierbarkeit (nach Riemann, ich denke darum geht es Dir) zerlegt man dagegen das Intervall, über dem man integriert und nähert, grob gesagt, die Fläche unter dem Graphen mit Rechtecken an.

Konvergiert das ganze für immer feiner werdende Rechtecke, dann nennt man die Funktion integrierbar und den Grenzwert "das Integral".

Da leuchtet es einem ein, dass wenn die Funktion schön glatt ist, das ganze funktionieren wird. Also: stetig impliziert integrierbar. Dabei kann die Funktion f sonst recht hässlich aussehen (Zacken haben usw.). Nun sagt ein Hauptsatz, dass dann auch eine Stammfunktion existieren muss, nämlich

fed-Code einblenden

für x aus [a,b]. Es kann aber sein, dass f unstetig ist und trotzdem integrierbar bleibt. Bei Schubis Beispiel ist das der Fall, oder bei

fed-Code einblenden

Dann ist

fed-Code einblenden

(rechne es mal aus) und dieses F ist natürlich nicht in 0 differenzierbar, eine andere Stammfunktion kann es nicht geben, also gibt es auch keine.

Man hat daher verschiedene Kriterien für die Integrierbarkeit ("Konvergenz" der Riemann-Zerlegung): Monotonie, Stetigkeit bis auf endlich viele Ausnahmestellen (kann man noch erweitern), dann gibt es Kriterien für die Schwankungssumme usw. Eine Stammfunktion hat man allerdings erst sicher, wenn f stetig ist.

Umgekehrt beachte, dass bei der Definition der Stammfunktion kein abgeschlossenes Intervall vorgegeben ist, wie bei der Riemann-Integrierbarkeit (dort muss man ja das Intervall zerlegen und braucht einen Anfangs- und Endpunkt). Deshalb ist z.B. der ln eine Stammfunktion zu 1/x auf (0,1], aber diese Funktion dort nicht integrierbar.

In jedem Fall verbinden die beiden Hauptsätze diese Begriffe und sagen Dir, wann es doch möglich ist, von dem einen auf das andere zu schließen.

Grüße,
Daiquiri



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46306
Herkunft: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2004-03-20


Hi Jana,
das Beispiel, was in den Lehrbüchern steht, ist die Funktion
fed-Code einblenden
Sie ist für alle x differenzierbar, aber die Ableitung f '(x) ist nur über solche Intervalle integrierbar, die die Null nicht enthalten.

Dieses Beispiel zeigt: Es gibt Funktionen, die eine Stammfunktion haben, aber nicht integrierbar sind. Dies ist so, egal ob man von Riemann- oder Lebesgue-Integrierbarkeit spricht.

Andererseits, wenn ich eine integrierbare Funktion habe, kann ich ihr unbestimmtes Integral betrachten. Nur muß dieses unbestimmte Integral keine Stammfunktion in dem Sinne sein, dass sie überall differenzierbar ist, das zeigen die Beispiele, die SchuBi und Daiquiri gegeben haben.

Gruß Buri



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46306
Herkunft: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25


2004-03-20 19:00 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
Hi Jana,
aber die Ableitung f'(x) ist nur über solche Intervalle integrierbar, die die Null nicht enthalten.
Hi,
Die Ableitung ist unbeschränkt und somit nicht Riemann-integrierbar.
Gruß Buri



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 277
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-26


@Buri: Wie kommst Du jetzt auf einen Beitrag von 2004?^^

Es gilt \(f'(x)=2x\cos(\frac{1}{x^2})+x^2(-\sin(\frac{1}{x^2}))(\frac{-2}{x^3})\) für \(x\neq0\) und \(f'(0)=0\). Da sich \(2x\cos(\frac{1}{x^2})\) in \(0\) stetig durch \(0\) fortsetzen lässt, interessiert uns nur \(x^2(-\sin(\frac{1}{x^2}))(\frac{-2}{x^3})=\frac{2}{x}\sin(\frac{1}{x^2})\).

Betrachten wir mal die Integration über \([0,1]\). Da \(\frac{2}{x}\sin(\frac{1}{x^2})\) unbeschränkt ist, müsstest Du erstmal sagen, was Du in diesem Fall unter der Riemann-Integrierbarkeit verstehst. Ich kenne das so, dass man bei der Definition die Beschränktheit voraussetzt. Insbesondere die Definition über Ober- und Untersummen würde sonst wohl auch gar keinen Sinn ergeben.

Für die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit über \((0,1]\) müssen wir \(\int_\varepsilon^1\frac{2}{x}\sin(\frac{1}{x^2})\,dx\) untersuchen. Substituieren wir \(y=\frac{1}{x^2}\) sollte dies \(\int_1^{\frac{1}{\varepsilon^2}}\frac{\sin(y)}{y}\,dy\) ergeben. Der Grenzwert \(\varepsilon\to0\) existiert, siehe de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus
Damit ist \(\frac{2}{x}\sin(\frac{1}{x^2})\) uneigentlich Riemann-integrierbar über \((0,1]\).

Andererseits ist bekannt, dass dies nicht Lebesgue-integrierbar ist, da man im Wesentlichen das Integral des Betrages nach unten durch eine harmonische Reihe abschätzen kann.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]