Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 22.09.2023 14:27 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Untervektorräume
Autor
Kein bestimmter Bereich Untervektorräume
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2001-12-02

Hallo! Ich habe noch ne fiese Aufgabe aus der Linearen Algebra, bei der ich Hilfe benötige: Sei j ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V mit der Eigenschaft  j  o  j =idV. Sei 1 ¹ -1 in K und sei V+ ={v Î V| j (v)=v} und sei V- ={v Î V| j (v) = -v}. Zeigen Sie: V+ und V- sind K-Untervektorräume von V und es gilt V=V+  Å V- . Als Tipp habe ich erhalten, dass ich zuerst zeigen soll, dass V+:=1/2( j (v)+v)  Î V und V-:=1/2( j (v)-v)  Î V ist. Dabei habe ich aber bereits Schwierigkeiten. Hoffe, mir kann jemand helfen. MfG Basti

 
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2001-12-03

Beispiele. a) j:R²->R² def. durch die Matrix ( 1 0 ) ( 0 1 ) Hier ist V+ = R² und V- = {0} b) ( -1 0 ) ( 0 -1 ) Hier ist V- = R² und V+ = {0} c) ( 1 0 ) ( 0 -1 ) Hier ist V+ = {(x,0)|xeR} und V-= {(0,x)|xeR} Nun soll gezeigt werden, daß V+ und V- Untervektorräume sind. Das sollte doch durch Nachrechnen gehen. Teilmenge und Rechenregeln sind trivial erfüllt. Bleibt noch die Abgeschlossenheit, also v,weV+ => v+weV+. Wenn v,weV+ => phi(v)=v und phi(w)=w. => v+w=phi(v)+phi(w)=phi(v+w) Ich sehe keine Klippen. Die direkte Summe von Unterräumen ist der kleinste Untervektorraum von V, der V+ und V- enthält. Zeige, daß V+ Å V- = V Dazu kann man vielleicht den Tipp brauchen. Da für Elemente aus V+ gilt: phi(v)=v, gilt für Elemente aus V+ folgende Identität:  v  = 1/2*(phi(v)+v)) und für Elemente aus V- gilt entsprechend  v  = 1/2*(phi(v)-v)) Das bedeutet, daß der Schnitt von V+ und V- nur den Nullvektor enthält. Ja, und nun? Vielleicht Dimensionsformel: dim(V+ Å V-) = dim(V+) + dim(V-) War nur ein Denkanstoß ...

 
matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14610
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.2, eingetragen 2002-02-02

Beweis bei Direkte Summe

   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]