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Universität/Hochschule J exakte Differentialgleichung
Sonja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-10-01


Hallo Matheplanet,
habe eine Frage wegen der bevorstehenden Matheklausur für Chemiker bezüglich einer Aufgabe:
und zwar ist ein totales Differetial gegeben, das ich auf seine Vollständigkeit überprüfen soll. Anschließend soll man das Potential berechnen. So weit bin ich schon mal.
Als nächstes soll man mit Hilfe des berechneten Potentials die totale ("exakte") Diferentialgleichung dPotential= 0
lösen. Die Angabe der impliziten Lösung genügt.
Ich kann mir nicht genau vorstellen, was diese Fragestellung bedeuten kann. Wenn ich das Potential ableite, komme ich doch wieder zur Ausgangsgleichung?
Wäre wirklcih dankbar, wenn mir jemand einen Tip geben könnte...

Grüße Sonja



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-01


Hallo Sonja,

über wieviele Variablen reden wir, über zwei nehm ich an?

Wenn Du das Potential schon hast, ich bezeichne es mit F(x,y(x)), dann erhälst Du die Lösung y(x) der mit dem Potential verknüpften exakten Differentialgleichung der Form ( ' bedeutet totale Ableitung nach der Variablen x hier)

(1): P(x,y) + Q(x,y)*y' = 0

einfach durch Auflösen der Gleichung (C ist eine beliebige Konstante)

(2): F(x,y) = C

nach der Variablen y.

Da nur die implizite Lösung verlangt ist, reicht die Form Gl. (2) schon aus.

Frag nach, wenn Dir nicht klar ist, warum, vielleicht kannst Du uns ja die vollständige Aufgabenstellung hier aufschreiben, und uns verraten, wie Du gezeigt hast, daß das Differential vollständig ist und ein Potential existiert.

Gruss



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Sonja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-02


Danke erst mal für die Antwort. Ich verstehe nur immer noch nicht, was ich für Q(x,y) und P(x,y) einsetzen soll?

Meine Aufgabe lautet:
(x*cos(2y)+1))dx- x² *sin(2y) dy
 d/dy =-sin(2y) *2x
=d/dx = -sin (2y)*2x
 deshalb ist das Diffetrential vollständig.
Für das Potential habe ich
Potential (X) = Int (x*cos (2y)+1 dx
Potential (y) = Int ( -x² sin(2y) dy

Potential (x,y) = 1/2 x² cos(2y) +x+c

Soweit müßte das doch richtig sein? Nur was ist jetzt Q (x,y) und was P(x,y)???

Grüße
Sonja



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-03


Hallo Sonja,

kurzer Ausflug zum Differential und zur exakten Differentialgleichung:

Zunächst Schreibweise: Index x oder y unten an einer Größe bedeutet partielle Ableitung dieser Größe nach x oder y, und df/dx := f'(x) bezeichnet bei mir die totale Ableitung.

Eine Differentialgleichung der Form (P, und Q sind gegebene Funktionen zweier Veränderlicher)

(1a): P(x,y) + Q(x,y)*y' = 0

bzw. äquivalent in Deiner Schreibweise

(1b): P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

heisst exakt, wenn es eine Funktion F(x,y) gibt, so daß

(2a): Fx(x,y) = P(x,y) ,

und

(2b): Fy(x,y) = Q(x,y)

gilt. Die Funktion F(x,y), wenn man sich nicht um ein Vorzeichen streitet, heißt in der Physik Potential, die Mathematiker sagen manchmal Stammfunktion dazu. Es gilt jetzt der wichtige Satz:

Sind die Funktionen P(x,y) und Q(x,y) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet stetig partiell differnzierbar, dann existiert ein Potential F(x,y) mit den Eigenschaften (2) genau dann, wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung

(3): Py(x,y) = Qx(x,y)

erfüllt ist. Das Potential lässt sich dann durch ein Kurvenintegral längs eines beliebig verlaufenden Weges berechnen und ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Warum sag ich das alles? Wenn (2) gilt, dann folgt doch aus (1)

(4): 0 = P(x,y(x)) + Q(x,y(x))*y' = Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x))*y'(x) = dF(x,y(x))/dx

Die totale Ableitung des Potentials nach x ist also Null und daher gilt

(5): dF(x,y(x))/dx = 0 => F(x,y(x)) = C

wobei C eine beliebige Konstante ist, die durch die Randbedingungen festgelegt ist. Gl. (5) ist genau das, was ich oben schon sagte: Wenn Du das Potential gefunden hast, erhälst Du die Lösung y(x) der exakten Differentialgleichung (1) durch Auflösen von (5)

Jetzt zu Deiner Aufgabe (überprüf bitte nochmal Deine Klammern im Term vor dx),

(x*cos(2y)+1)dx - x² *sin(2y) dy = 0

Klar ist jetzt, was P und Q sind?:

P(x,y) = x*cos(2y)+1

Q(x,y) = -x² *sin(2y)

Und wie lautet jetzt die Lösung y(x) Deiner exakten Differentialgleichung?

Oh, und stop, Dein Potential ist nicht ganz richtig, was hast Du denn mit der y-Integration gemacht?

Frag nochmal nach, wenn Du was nicht verstanden hast, und schau in Dein Vorlesungsskript wie dort die ganze Geschichte eingeführt wurde.

Gruss


 





[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2002-10-07 08:32 ]



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Sonja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-07


Ich hoffe, ich habe das jetzt verstanden:
Also berechne ich mein Potential, setze es gleich C und löse es nach y auf.
Die Sache ist die, dass ich mit der Integration nach y gar nichts gemacht habe.
Wenn ich mein berechnetes Potential nach x und nach y ableite und die Ergebnisse addiere komme ich doch wieder auf die Ausgangsgleichung:
Pot (x,y) = 1/2*x² cos (2y) +x+c
d(1/2*x²cos(2y)+x+c) =(x*cos(2y)+1)dx-x²*sin(2y)dy
Deshalb ging ich davon aus, dass es richtig sei.

Wäre mein Potential richtig würde ich schreiben:
c=1/2 * x² cos(2y) +x
Bzw.: y(x) = [ arc cos ( 2* (c-x)/x² ) ] /2
Oder habe ich jetzt zu einfach gedacht?

Vielen Dank für deine Mühen
Grüße Sonja

(In meinem Skript steht viel zu wenig, um mir das begreifbar zu machen)



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Spock
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Hallo Sonja,

ja, ich denke Du hast das meiste richtig verstanden, zumindest mal ab dem Punkt, wo das Potential gefunden ist. Und tasächlich stimmt auch das von Dir angegebene Potential samt Lösung der exakten DGL, auch wenn es nicht ersichtlich ist, wie Du das Potential aus Deinen Angaben "Potential(x) = ..." , "Potential(y) = ..." erhalten hast. Du solltest Dir die Berechnung des Potentials nochmal sorgfältiger klar machen. Ich versuche Dir mal etwas ausführlicher, anhand Deines Beispieles, zwei verschiedene Möglichkeiten zu zeigen (ich beziehe mich bei den Gleichungen auf die Numerierungen meiner zweiten Antwort und numeriere hier fortlaufend):

Deine Differentialgleichung lautete

(6): (x*cos(2y)+1)dx - x²*sin(2y) dy = 0

P und Q sind also gegeben durch

(7): P(x,y) = x*cos(2y)+1

(8): Q(x,y) = -x² *sin(2y)

Ich gehe davon aus, daß Du die Integrabilitätsbedingung (3) nachgewiesen hast, es existiert also ein Potential F(x,y)

Berechnung des Potentials, Methode 1:
=============================

Nach Gleichung (2a),

Fx(x,y) = P(x,y)

gilt doch in Deinem Fall

(9): Fx = x*cos(2y) + 1

Integration nach x liefert

(10): F(x,y) = (1/2)*x²*cos(2y) + x + g(y),

wobei die Integrations-"konstante" g(y) eine noch unbekannte Funktion der Variable y ist.

Weiterhin gilt auch noch Gleichung (2b),

Fy(x,y) = Q(x,y) ,

d.h., F(x,y) von Gleichung (10) partiell nach y differenziert muß die Funktion Q(x,y) ergeben, also

(11): -x²*sin(2y) + g'(y) = -x²*sin(2y)

Aus (11) folgt dann

(12): g'(y) = 0 => g(y) = const

In diesem Fall hängt die Funktion g(y) nicht von y ab, man erhält also als Lösung

(13): F(x,y) = (1/2)*x²*cos(2y) + x + const

mit einer beliebigen Konstanten const.

Beachte, daß die in Gl. (10) einzuführende Funktion g(y) im allgemeinen wirklich von y abhängt.

Für Dich, wenn Du noch Lust hast, zur Vertiefung dieser Methode zwei Übungsbeispiele:

Berechne das Potential von

(1/x² - y)dx + (y - x)dy = 0

und von

(x + y)dx + (x - y)dy = 0


Die zweite Methode läuft auf die Berechnung von Kurvenintegralen hinaus, und die würde ich Dir dann zeigen, wenn von Deiner Seite aus noch Interesse besteht, und Dein Prof. die Kurvenintegrale in der Vorlesung eingeführt hat?
Noch ein Hinweis: Ich weiß nicht, wie streng Dein Prof die Klausur korrigiert, aber Du solltest in Deinen Schreibweisen streng unterscheiden zwischen partieller und totaler Differentiation.

Melde Dich nochmal, wenn was unklar ist.

Gruss





[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2002-10-07 14:36 ]



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Sonja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-08


Hallo,

ja, da hast du recht, mit dem Potential, meine ich. Ich hatte einfach meine Integration nach x als Potential genommen und mich gefreut, dass es paßt.
Habe die Beispiele mit der Methode, die du erklärt hast gerechnet:

1.: (1/x²-y)dx+(y-x)dy=0

F(x,y)=-1
F(y,x)=-1
Differential vollständig

P(x,y)=1/x²-y
Q(x,y)=y-x

Int.(1/x²-y)dx= -1/x-xy+g(y)=F(x,y)
Q(x,y) = F(y) (x,y)
-x+g'(y)= y-x
also ist g(y)=1/2y²

also ist F(x,y)=-1/x-xy+1/2y²

Bei der anderen habe ich es genauso gemacht und für das Potential
F(x,y)=1/2x²+xy-1/2y²

Das mit den Kurvenintegralen haben wir nicht gemacht. Mit den Schreibweisen kenne ich mich tatsächlich nicht gut aus, bin mir gar keiner Schuld bewußt.
Aber unser Prof ist auch nicht so genau. Er schaut nur nach, ob man es einigermaßen verstanden hat. Die Art, wie er bewertet ist sowieso streng geheim und auf keinen Fall nachvollziehbar. Ich glaube sie begründet sich auf die Anzahl seiner Vorlesungen, bei denen er einen gesehen hat.
So, jetzt werde ich diese neuen Erkenntnisse in meine Formelsammlung schreiben.

Du hast mir sehr geholfen. Werde sehen, ob ich auch jemandem weiterhelfen kann, aber ich glaube, über Chemie will hier keiner was wissen.

Grüße
Sonja



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