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Strukturen und Algebra » Gruppen » Wieso nicht Null als Ordnung eines Gruppenelements?
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Universität/Hochschule Wieso nicht Null als Ordnung eines Gruppenelements?
Martin_Infinite
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  Themenstart: 2014-03-04

Ich weiß nicht, ob wir hier schon einmal darüber diskutiert haben (vermutlich schon). Ich will hier auf eine Inkonsistenz in der traditionellen Terminologie von Gruppenordnungen hinweisen und dazu eine Korrektur anbieten. Die übliche Definition der Ordnung eines Gruppenelementes $g \in |G|$ sieht so aus: Wenn es eine natürliche Zahl $n>0$ gibt mit $g^n=1$, so sei $\mathrm{ord}(g)$ die kleinste solche natürliche Zahl. Ansonsten sei $\mathrm{ord}(g)=\infty$. Äquivalent: $\mathrm{ord}(g)$ ist die Ordnung der Gruppe $\langle g \rangle$. Die Charakteristik eines Ringes $R=(|R|,+,*)$ ist üblicherweise als die Elementordnung von $1$ bezüglich der Gruppe $(|R|,+)$ definiert. Aber nicht ganz: Wenn die Elementordnung $\infty$ ist (gemäß der obigen Definition), so setzt man die Charakteristik als Null an. Also: Wenn es eine natürliche Zahl $n>0$ gibt mit $n \cdot 1 = 0$, so sei $\mathrm{char}(R)$ die kleinste solche Zahl. Wenn nicht, sei $\mathrm{char}(R)=0$. Das passt also nicht zusammen. Das ist wohl historisch erwachsen und wird wohl auch nicht mehr wegzukriegen sein. Und egal, wie man sich nun dafür entscheidet, es konsistent zu machen (also Null als Elementordnung zuzulassen oder Ringe mit Charakteristik $\infty$ zu betrachten), wird man damit wohl anecken, selbst wenn man "Recht hat". Ich ziehe die Null dem $\infty$ vor (auch wenn das meinem Nick-Namen nicht gerecht wird ;-)). Es ist ganz natürlich, den Homomorphismus $\mathds{Z} \to G$, $z \mapsto g^z$ zu betrachten; sein Kern hat die Form $n \mathds{Z}$ für genau ein $n \in \mathds{N}$ und dieses $n$ nennt man dann die Ordnung $\mathrm{ord}(g)$ von $g$ in $G$. Es gilt also für alle ganzen Zahlen $z$, dass $g^z = 1 \Leftrightarrow \mathrm{ord}(g)|z$. Der 1. Isomorphiesatz liefert $\langle g \rangle \cong \mathds{Z}/n\mathds{Z}$. Das ist eine konzeptionelle und in der Praxis auch sehr nützliche Definition der Ordnung. Und dieselbe Definition funktioniert für Moduln über beliebigen Hauptidealringen (dort ist die Ordnung dann nur bis auf Einheiten bestimmt); die klassische Definition benutzt $\leq$ anstelle von $|$ und geht in dieser Allgemeineit nicht. Und vor allem: Man braucht keine Fallunterscheidung. Diese scheint hier irgendwie künstlich zu sein. Dies lässt sich dann insbesondere auf die additive Gruppe eines Ringes und der Eins anwenden. Man erhält damit auch eine konzeptionelle Definition der Charakteristik eines Ringes. Nun wurde bereits bei math.SE/98605 dargelegt, dass das eine sehr natürliche Definition ist und damit werden Ringe der Charakteristik $\infty$ ausgeschlossen. Bloß wieso sollte sich denn nicht dasselbe Argument im allgemeinen Fall von Gruppen führen lassen? Wenn wir etwa einen Gruppenhomomorphismus $f : G \to H$ haben und $g \in |G|$, so ist $\mathrm{ord}(f(g))$ ein Teiler von $\mathrm{ord}(g)$. Das folgt unmittelbar aus der konzeptionellen Definition oben. Wenn wir aber $\infty$ als Gruppenordnung zulassen, so müsste man hier eine Einschränkung auf endliche Gruppenordnungen machen oder sagen, was es heißen soll, dass sich zwei Zahlen in $\mathds{N}^+ \cup \{\infty\}$ teilen. Überhaupt finde ich, dass $\mathds{N}$ ein viel schöneres Objekt ist als $\mathds{N}^+ \cup \{\infty\}$. Vielleicht kann man eine objektive(!) Antwort auf die Frage erhalten, indem man sich Garben von Gruppen auf einem Raum $X$ anschaut und dort die Ordnung eines lokalen Schnittes definiert. Hier sollte die Definition den Vorrang bekommen, die sich "entlang von $X$" besser verhält. Nun, was denkt ihr dazu? Welche ernsthaften Schwierigkeiten (außer "umschreiben") würden sich ergeben, wenn die Null (anstelle $\infty$) eine Elementordnung einer Gruppe ist?


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weird
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-03-04

Ja, da rennst du bei mir offene Türen ein: Aus meiner Sicht spricht ebenfalls alles dafür, die Ordnung eines Gruppenelements, welches nicht Torsionselement ist, als 0 zu definieren. Überhaupt sollte man das Symbol $\infty$ aus didaktischen Gründen eher sparsam gebrauchen, da der sorglose Umgang damit bei Anfängern bekanntermaßen zu Problemen führen kann. Eine andere Inkonsistenz in der Algebra, welche mir persönlich sauer aufstößt, ist die Tatsache, dass man 0 oft als Nullteiler in einem Ring ausschließt und damit eine Menge an Ausnahmen schafft. Ich denke nur daran, dass nilpotente Elemente so nicht automatisch auch Nullteiler sind oder die Nullteiler in einem Restklassenring von $\mathbb Z$ modulo einer Primzahlpotenz kein Ideal bilden, weil eben die 0 fehlt. Und ja, in diesem Zusammenhang gibt es da noch den im deutschen Sprachraum scheinbar unausrottbaren Begriff des "Integritätsbereichs" statt Integritätsrings, welcher sich aus unerfindlichen Gründen irgendwie noch in unsere Zeit herübergerettet hat. Wenn man sich das Beharrungsvermögen vieler Mathematiker - speziell der älteren Generation - ansieht, so wird wohl noch viel Wasser die Donau hinunterrinnen, wie man bei uns sagt, bevor sich da was ändert.


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OmmO
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-03-04

@Martin_I/0 Die Ordnung des Elementes ist dann nicht mehr die Ordnung der erzeugten Untergruppe. Ich weißt nicht, wie die Begriffe historisch zusammenhängen, dieser Zusammenhang wäre dann nur noch für Elemente mit Ordnung >0 richtig.


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ZetaX
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-03-04

OmmO: So what¿ Siehe insbesondere die schon erwähnte Charakteristik von Ringen/Körpern. Dass etwas, das man meiner Erfahrung nach nie (!) benutzt, nicht mehr gilt, ist ohne weitere Begründung nun nicht gerade vermissenswert.


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Buri
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-03-04

Hi Martin, die Äquivalenzen g^n=1 <=> ord(g) \| n <=> n\in ord(g)\IZ sind wirklich beeindruckend. Außerdem charakterisieren sie die Zahl ord(g)\in\IN, was will man noch mehr? Ich bin dafür, diese Festlegung hier im Forum zu benutzen. Mit ausdrücklichem Hinweis auf den Urheber und auf dieses Thema. Gruß Buri


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OmmO
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  Beitrag No.5, eingetragen 2014-03-04

@ZetaX Ich will ja gar nicht behaupten, dass das ein ernstes Problem ist. Daher habe ich den Beitrag auch möglichst neutral formuliert und auch direkt die "Lösung" erwähnt. Dass die beiden Begriffe von "Ordnung" nicht mehr völlig zusammenpassen, wollte ich aber trotzdem nicht unerwähnt lassen. Auch gilt z.B. nicht mehr $|a^{}| \le ord(g)$, falls G auf A operiert und $a \in A$. Das ist eine Folge der bemerkten Tatsache. Hier muss man dann halt beim Formulieren aufpassen und $|a^{}| \le ||$ schreiben, was auch nicht schlimm ist (@ZetaX). [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2014-03-04

\quoteon(2014-03-04 19:41 - OmmO in Beitrag No. 5) ... muss man dann halt beim Formulieren aufpassen und $|a^{}| \le ||$ schreiben, was auch nicht schlimm ist (@ZetaX). \quoteoff Hi OmmO, ja, aber die Ordnung von <g> braucht man nicht wirklich. Denn $|a^{}| \le \infty$ ist eine Bedingung, die immer erfüllt ist, und somit kann man diese Aussage auch als $ord(g)\neq 0 \implies |a^{}| \le ord(g)$ schreiben, das drückt dasselbe aus. Gruß Buri


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-14

Gibt es hier weitere Meinungen? Ich bin ehrlich gesagt positiv überrascht, dass so viele mit mir hier übereinstimmen!


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Gockel
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  Beitrag No.8, eingetragen 2014-03-14

@OmmO: Wenn man nicht kleinergleich, sondern die stärkere Teilbarkeitsaussage benutzt, dann macht das kein Problem, denn jede ganze Zahl teilt 0. @MI: Vielleicht solltest du den Moment nutzen, um 0 zur natürlichen Zahl zu erklären :D mfg Gockel.


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Rene_R
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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-03-14

\quoteon(2014-03-04 19:31 - Buri in Beitrag No. 4) Ich bin dafür, diese Festlegung hier im Forum zu benutzen. Mit ausdrücklichem Hinweis auf den Urheber und auf dieses Thema. \quoteoff Das finde ich persönlich nicht gut (werde es also selbst nicht machen). Natürlich steht es jedem frei, die eigenen Definitionen und Notationen zu verwenden, aber eine Abweichung von einer Konvention provoziert immer wieder auftretende und unnötige Verständnisschwierigkeiten. Da mathematische Sprache der Kommunikation dient, ist eine auf den Matheplaneten isolierte Abweichung von einer Norm nicht erstrebenswert. Es ist praktisch sicher, dass solch eine Konvention auf den Matheplaneten beschränkt bleiben würde. Im günstigsten Fall (für die Vertreter dieser Konvention) würde eine Koexistenz von verschiedenen Konventionen resultieren, ähnlich der Situation mit den natürlichen Zahlen ($0 \in \mathbb{N}$?). Das halte ich allerdings auch nicht für erstrebenswert.


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Gockel
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  Beitrag No.10, eingetragen 2014-03-14

Andererseits muss man ja irgendwo anfangen, wenn man die "richtige" Konvention langfristig durchsetzen will :-) Und wo besser anfangen als dort, wo viele Mathematiker der nächsten Generation zusammenkommen. Nichts anderes passiert ja jeden Tag mit jeder anderen Konvention: Sie bleiben dadurch lebendig, dass Lehrende sie an Lernende weitergeben. Sie entstehen und sterben auf diesem Wege. Weshalb sollten wir nicht genauso mit unserer Lieblingskonvention verfahren? In der Tat passiert das schon längst. Es geschieht z.B. immer wieder, dass wir z.B. darauf aufmerksam machen, dass der Begriff "quasikompakt" für topologische Räume veraltet ist und man heutzutage nur noch "kompakt" sagt, während das, was frühere Topologen "kompakt" nannten heutzutage "kompakt und hausdorff'sch" genannt wird. Jedes Mal, wenn wir so etwas schreiben, ergreifen wir Partei für eine bestimmte Konvention. mfg Gockel. P.S.: Null ist natürlich natürlich. :-p


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weird
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  Beitrag No.11, eingetragen 2014-03-18

Ja, Gockel's Argumente "man muss einmal den Anfang machen, wenn man sinnvolle Änderungen durchsetzen will", als auch, dass ein verbreitetes mathematisches Forum wie der Matheplanet genau der richtige Platz dafür ist, sind beide absolut zwingend, wenn man wirklich darüber nachdenkt. Bleibt also dann nur mehr die Frage, ob es sich hier wirklich um eine sinnvolle Änderung handeln würde. Ich mache keinen Hehl daraus, dass dies in meinen Augen absolut der Fall ist und die Argumente dafür wurden ja hier auch schon angeführt. Es ist aber trotzdem der einzige Punkt, über den man wirklich diskutieren kann, und sicher nicht darüber, nur ja nichts zu verändern, weil man damit einige Leute (und damit meine ich weniger die Studenten, als vor allem die Lehrer!) in ihren Denkgewohnheiten verunsichert.


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Gockel
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  Beitrag No.12, eingetragen 2014-03-18

Martin hat mich gebeten, hier noch einmal zu wiederholen, was ich im Chat schon einmal dazu geschrieben hatte. Ich arbeite viel mit Coxeter-Gruppen. Das sind Gruppen mit einem fest gewählten Erzeugersystem, die einer einfach strukturierten Präsentation folgen. $(W,S)$ ist eine Coxeter-Gruppe, wenn es eine Matrix $(m_{st})\in\mathbb{N}^{S\times S}$ gibt mit $W=\langle S \mid (st)^{m_{st}} = 1\rangle$. Wenn man ein paar triviale Randbedingungen einhält ($m_{ss}=1$ und $m_{st}=m_{ts}$), dann kann man zeigen, dass in der so definierten Gruppe das Produkt $st$ nicht nur Ordnung kleinergleich $m_{st}$, sondern exakt gleich $m_{st}$ hat. Viele interessante Coxetergruppe, z.B. die affine Weyl-Gruppe $\tilde{A}_1$ (=$C_2\ast C_2=\mathbb{Z}\rtimes C_2$ =unendliche Diedergruppe) erfüllt nun aber, dass das Produkt von zwei solchen Erzeugern 0 bzw. $\infty$ ist. Es gibt daher die Tradition $m_{st}=\infty$ als möglichen Eintrag in der Coxeter-Matrix zuzulassen und zu definieren, dass die Relation $(st)^\infty=1$ in der Definition von $W$ einfach als Abwesenheit einer Relation zu interpretieren ist. Das hat dann auch exakt den gewünschten Effekt, dass die Ordnung von des Produkts $st$ in $W$ eben 0 bzw. $\infty$ wird. Bis hierhin denkt man, dass das Ersetzen von $\infty$ durch $0$ nur Vorteile bringt, weil sie diese unnötige Extradefinition unnötig macht. Die Relation $(st)^0=1$ ist immer wohldefiniert auch ohne Zusatzregeln und hat denselben Effekt, weil sie trivialerweise immer gilt und daher genau wie die Pseudo-Relation $(st)^\infty=1$ keine zusätzliche Information ergibt. Andererseits hört die Theorie der Coxeter-Gruppen dort eben nicht auf. Ein beliebtes Werkzeug (mit dem man überhaupt erst meine Aussagen bzgl. der Elementordnungen beweist) ist die sogenannte geometrische Darstellung von $W$, die in ihrer einfachsten Form so aussieht, dass man auf dem reellen Vektorraum $\mathbb{R}^S$ eine Bilinearform $\beta$ definiert durch $\beta(\alpha_s,\alpha_t) := -\cos(\frac{\pi}{m_{st}})$ wobei $(\alpha_s)_{s\in S}$ die Standardbasis von $\mathbb{R}^S$ sei. Das macht man deshalb, weil es dann eine kanonische Einbettung in die orthogonale Gruppe $W\to O(\mathbb{R}^S,\beta)$ gibt und man mit dieser Realisierung alle grundlegenden kombinatorischen Eigenheiten von $W$ untersuchen beweisen kann. Wenn man hier $m_{st}=\infty$ einsetzt, braucht man keine unerwarteten Zusatzdefinitionen, weil $\frac{\pi}{\infty}$ in jedem normalen Kontext ja sowieso als $0$ verstanden wird, so wie es beabsichtigt ist. Wenn man jedoch $m_{st}=0$ verwendet, kann man das nicht mehr so einfach machen und muss wegen der auftretenden Division durch Null die Definition von $\beta$ etwas verkomplizieren. In diesem Beispiel hat man also, egal wie man's macht, mindestens eine Stelle, an der der Spezialfall 0 bzw. $\infty$ extra behandelt werden muss. Angesichts dessen, dass es für Coxeter-Gruppe anscheinend ein Nullsummenspiel ist, während bei anderen Bereichen der Gruppentheorie ein Vorteil entsteht, bin ich aber trotzdem Befürworter der Nullkonvention. mfg Gockel.


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-19

Danke für die Rückmeldungen. Ich denke nicht, dass wir hier auf dem Matheplaneten die "Nullkonvention" (die in Wahrheit keine Extrakonvention ist, sondern als eine fallunterscheidungsfreie Definition die $\infty$-Konvention ablösen kann) etablieren können. Was bedeutet das denn für jemanden, der hier neu auf dem Matheplaneten ist und eine Frage stellt, in der Gruppenelemente endlicher Ordnung vorkommen? Was bringt es langfristig, wenn wir ihm beibringen, dass "bei uns" das "Gruppenelemente positiver Ordnung" heißt? Man sollte wohl eher bei der Lehre direkt ansetzen. Aber dafür müssten sich schon viele Professoren und Autoren zusammentun. Und die werden das aber als nicht sonderlich wichtig beachten (was ich auch verstehen kann).


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OmmO
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  Beitrag No.14, eingetragen 2014-03-20

Also ich habe mich ja ernsthaft bemüht, aber keine Situation gefunden, in denen die "neue" Definition mehr Arbeit macht als die "alte". Trotzdem finde ich den Vorschlag immer noch sehr interessant! Ein Argument der Form "das haben wir schon immer so gemacht" ist schließlich kein Argument. Ich sehe es so, dass der Vorschlag allen beteiligten ein wenig Mut gemacht hat, alternative Denkweisen zu erforschen und allein deshalb ist der Vorschlag schon toll. Viele Grüße OmmO


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-27

Die von mir vorgeschlagene "Konvention" habe ich übrigens im Gruppentheorie-Artikel Teil 2 umgesetzt http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1604#7 und es ist dadurch zu wesentlichen Vereinfachungen gekommen und die in der Literatur üblichen Fallunterscheidungen sind ganz einfach entfallen.


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KidinK
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  Beitrag No.16, eingetragen 2015-05-27

Mittlerweile weiß ich auch, dass das eine viel bessere Sichtweise ist und verwende sie ausschließlich. Damit fahre ich sehr gut. Mit Martin ist mir übrigens aufgefallen, dass man einen Funktor $\operatorname{ord}\colon\mathbf{Grp}_\ast\longrightarrow(\mathbb{N},\,\mid\,)^\operatrname{op}$ hat, welcher eine Gruppe $G$ mit Basispunkt $g$ auf die Ordnung von $g$ schickt und welcher isomorph ist zu $\ker\colon(\mathbb{Z}\downarrow\mathbf{Grp})\longrightarrow(\operatorname{Untergruppen\ von\,}\mathbb{Z})$ als Pfeile in $\mathbf{Cat}$ - zumindest wenn man die richtige Definition der Ordnung (und die richtige Definition von $\mathbb{N}$) verwendet (und die falsche Definition von Untergruppe :-D ). Liebe Grüße, KidinK


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