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  Was ist der Wellenvektor k? |
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keyx
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Dabei seit: 22.05.2012
Mitteilungen: 2
Wohnort: Bayreuth
 |  Themenstart: 2014-05-02
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Hallo,
in den letzten Wochen drängen sich mir ein Haufen zum Thema Dispersionsrelationen von Phononen auf. Sie lassen sich im Grunde alle auf eine Frage herunterbrechen: Was ist der Wellenvektor $\vec{k}$?
Klar ist: $\vec{k}$ gibt die Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten an. Unklar ist, was der Betrag von $\vec{k}$ zu bedeuten hat.
Im Fall einer linearen Dispersion $k = \frac{\omega}{c}$ kann ich den Betrag des Wellenvektors problemlos mit der Wellenlänge oder der Frequenz in Beziehung bringen.
Wenn ich nun allerdings Dispersionsrelationen im Festkörper betrachte, wird $\omega(k)$ betrachtet. Der Zusammenhang zwischen $\vec{k}$ und $\omega$ ist dabei nicht immer linear.
Ich muss mir $\vec{k}$ und $\omega$ also ab jetzt "getrennt" vorstellen. Was ist die ursprüngliche Bedeutung von $\vec{k}$? Um eine Dispersionsrelation zu messen muss ich ja beide Größen messen. Wie messe ich $\vec{k}$?
Vielen Dank
keyx
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Berufspenner
Senior 
Dabei seit: 13.11.2003
Mitteilungen: 3299
Wohnort: Hamburg, z.Zt. Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-05-02
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Moin und willkommen im Forum
\quoteon(2014-05-02 15:30 - keyx im Themenstart)
Klar ist: $\vec{k}$ gibt die Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten an. Unklar ist, was der Betrag von $\vec{k}$ zu bedeuten hat.
\quoteoff
Man kann zeigen, dass die Wellenzahl, also der Betrag des Wellenvektors, proportional zu einem Quasiimpuls $p = \hbar k = m^*_e v$ ist. Dabei ist $m^*_e$ die effektive Masse im Kristall. Weiter wissen wir, dass man die kinetische Energie eines Elektrons durch $E_{kin} = \frac{1}{2}m^*_ev^2$ angeben kann. Nun kann man die Definition des Quasiimpulses in die Gleichung für die Energie einsetzen und erhält entsprechend $E_{kin} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*_e}$. Da man nun, etwas schwamming ausgedrückt, Wellen- und Teilchendarstellung ineinander überführen kann (es gilt $E = \hbar\omega$) und wir daher wissen, dass die Schwinungsfrequenz ein Maß für die Energie ist, drückt man die kinetische Energie oft als Funktion des Impulses aus, was eben die Dispersionsrelation ist: $\omega(k)$.
\quoteon(2014-05-02 15:30 - keyx im Themenstart)
Wenn ich nun allerdings Dispersionsrelationen im Festkörper betrachte, wird $\omega(k)$ betrachtet. Der Zusammenhang zwischen $\vec{k}$ und $\omega$ ist dabei nicht immer linear.
\quoteoff
Der Zusammenhang muss nicht notwendigerweiße linear sein. Gerade bei Phononen (ein und zweiatomige Basis) siehst du ja, dass man im akustischen Zweig nur für kleine k eine lineare Näherung annehmen kann. In den oben genannten Formeln siehst du ja auch, dass $\omega \sim k^2$ ist.
\quoteon(2014-05-02 15:30 - keyx im Themenstart)
Ich muss mir $\vec{k}$ und $\omega$ also ab jetzt "getrennt" vorstellen. Was ist die ursprüngliche Bedeutung von $\vec{k}$? Um eine Dispersionsrelation zu messen muss ich ja beide Größen messen. Wie messe ich $\vec{k}$?
\quoteoff
Die Frage nach dem Messen ist noch einmal eine ganz andere. Wenn du dir real gemessene Dispersionsrelationen für Phononen oder auch z.B. das Bänderdiagramm eines Halbleiters, was ja auch nichts anderes ist als eine Dispersionsrelation, anguckst, sieht das schon nicht mehr ganz analytisch aus. Die nächste Frage ist dann auch, in welcher Gitterrichtung bzw. aus welcher Gitterebene man das ganze Betrachtet. Das wird dann schon wieder komplizierter.
EDIT: Zur Bedeutung und Herleitung des Wellenvektors aus den periodischen Randbedingungen, z.B. eines Kristalls, für harmonische Lösungen könnte vielleicht dieser Link hier auch noch ganz interessant sein. Seltsamerweise werden bei mir die Formeln mit Firefox nicht ganz korrekt angezeigt. Mit dem IE schon. Vielleicht hilft dir das noch als weitere Ergänzung.
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keyx
Neu
Dabei seit: 22.05.2012
Mitteilungen: 2
Wohnort: Bayreuth
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-08
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Hey Berufspenner,
herzlichen Dank für deine Antwort, sie hat mir damals gut weitergeholfen!
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keyx hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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