Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Kugelpackung
Autor
Universität/Hochschule Kugelpackung
mathestudent99
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 13
  Themenstart: 2014-05-13

Hallo Leute ich komme bei meiner Abgabe nicht weiter kann mir jemad helfen, für einen Ansatz wäre ich auch dankbar. Zum Transport von n Kugeln mit Radius r soll eine quaderformige Kiste konstruiert werden, sodass die Oberflache der Kiste moglichst klein ist. Modellieren Sie dieses Problem als ein nicht-lineares Optimierungsproblem. Ist die zulässige Menge konvex? Hinweis: Die optimale Breite, Hohe und Tiefe der Kiste lässt sich mithilfe der optimalen mittelpunkte p= x, y, z elemente R3 jeder Kugel i im Raum bestimmen


   Profil
davidhigh
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.03.2007
Mitteilungen: 3057
Wohnort: Kiel
  Beitrag No.1, eingetragen 2014-05-13

Hallo, willkommen auf dem Matheplaneten! Das Problem klingt gar nicht so einfach. Deswegen hier mal ein Näherungsweiser Ansatz: Für kleine Kugeln bzw. eine große Kiste kann du das Volumen der Kugeln ungefähr über die dichteste Kugelpackung bestimmen, siehe hier. Die Aufgabe ist dann näherungsweise nur noch, für das vorgegebene Volumen der Kugeln die Oberfläche zu minimieren. Das ist nicht die exakte Lösung des Optimierungsproblems, aber sollte dir das Grenzverhalten widergeben. Viele Grüße, David


   Profil
gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4512
Wohnort: Harz
  Beitrag No.2, eingetragen 2014-05-13

Hallo student99 und herzlich willkommen! vielleicht ist aber auch gemeint, dass du das Problem gar nicht lösen sollst, sondern dass du es nur modellierst und schaust, ob die zulässige Menge konvex ist - dh es ist gar nicht gefordert, dass du das Problem wirklich löst... Wenn sich herausstellt, dass die zulässige _nicht_ konvex ist, dann ist es ggf leicht das zu zeigen, indem du zwei Punkte angibst, die in der Menge liegen, und einen weiteren Punkt auf deren Verbindung, der eben _nicht_ in der Menge liegt. Grüsse gonz


   Profil
mathestudent99
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-13

hey danke für antworten =) genau ich soll es ja nur modellieren und nicht lösen, aber ich weiß auch gar nicht wie dran gehen soll..


   Profil
gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4512
Wohnort: Harz
  Beitrag No.4, eingetragen 2014-05-14

Ich weiss, dass man es mit so Aufgaben immer eilig hat und viel zu tun, ich habe in diesem Fall (wie ich es gewohnt bin) einfach mal mit einem simplen Fall angefangen (jetzt in Richtung: ist der zulässige Bereich konvex? gedacht). Nimm dir doch einfach mal den Fall von zwei Kugeln vor, und verlagere das ganze in 2D. Dann haben wir eine vereinfachte Aufgabe der folgenden Form: Die Flachmenschen wollen zum Transport von 2 Kreisen eine rechteckige Kiste bauen. Es handelt sich um Einheitskugelnkreise vom Radius 1 und die Kiste ist durch ihre Kantenlängen Länge x Breite beschrieben. Wie muss eine solche Kiste aussehen, damit ihr Umfang möglichst klein ist? In welchen Schritten wäre das zu modellieren? Wie sieht der zulässige Bereich aus und ist er konvex? Wie sieht die Zielfunktion aus? In diesem Fall kann man natürlich auch eine Lösung angeben. Für den Fall von N>2 und 3D würde ich dann vorab einmal fragen: hast du dich mit Kugelpackungen beschäftigt? Dazu gibt es im grossen weiten Netz viel zu lesen (natürlich oft unter andere Fragestellungen, zB wie viel Folie bräuchte ich, um die Kugeln einzupacken). Der Link von David ist da schon einmal ein guter Einstieg * find Grüsse und in der Hoffnung, dir ein wenig weitergeholfen zu haben gonz


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7038
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.5, eingetragen 2014-05-14

Nein, man muss nichts über Kugelpackungen im Netz lesen. Es geht um die Modellbildung! Was nützt der schönste Optimierungsalgorithmus, wenn ich ihm nicht verständlich machen kann, was ich optimiert haben möchte. Ziel der Aufgabe ist es, ein reales Problem als nichtlineares Optimierungsproblem zu modellieren. Hier ein paar Ansatzpunkte: Stelle Dir das Problem eingebettet in ein Koordinatensystem vor. 1) Welche Informationen (=Problemvariablen) brauchst Du, um die Lage der Kugeln und die Lage der Kiste zu beschreiben? 2) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Kugeln sich nicht überlappen? 3) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Kugel nicht aus der Kiste herausschaut? 4) Wie sieht die Zielfunktion aus? Zur Konvexität: 5) Gibt es zwei zulässige Lösung, so dass eine "Zwischenlösung" nicht zulässig ist? Probiere erstmal Lösungen, die sich nur in der Lage einer einzigen Kugel unterscheiden. Kitaktus


   Profil
mathestudent99
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-14

Danke euch sehr aber ich bin trotzdem nicht weitergekommen :(


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7038
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.7, eingetragen 2014-05-15

Kannst Du keine der 5 Fragen in Beitrag #5 beantworten? Dann liegen Deine Defizite leider nicht (nur) im Bereich der Optimierung. Für die Beantwortung der Fragen ist im Wesentlichen nur elementargeometrisches Wissen notwendig. Ich erkläre Dir gern, wie man das Ganze am Ende zu einem schicken NLO zusammenbaut, aber Du solltest -- meiner Meinung nach -- wenigstens versuchen, die Vorarbeit selbst zu leisten. Kitaktus


   Profil
davidhigh
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.03.2007
Mitteilungen: 3057
Wohnort: Kiel
  Beitrag No.8, eingetragen 2014-05-15

\quoteon(2014-05-14 09:11 - Kitaktus in Beitrag No. 5) Nein, man muss nichts über Kugelpackungen im Netz lesen. \quoteoff Kann man schon, wenn man eine schnelle und asymptotisch richtige Lösung erhalten möchte. Aber zugegeben, nach der Lösung war ja hier gar nicht gefragt, sondern nur nach der Modellierung... Viele Grüße, David


   Profil
dogimon
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.05.2014
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.9, eingetragen 2014-05-15

danke kitaktus!!


   Profil
mathestudent99
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-15

hey kitaktus habe mich wieder drangesetzt heute, bin weiter gekommenund fertig danke!!


   Profil
gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4512
Wohnort: Harz
  Beitrag No.11, eingetragen 2014-05-16

Huhu student :) dann wäre es nett, wenn du die Lösung kurz skizzierst, dann hätte auch der nächste der in den thread schaut, weil er etwas zum thema nichtlineare optimierung und/oder modellierung von so dingen wissen will, etwas mehr davon :) Grüsse gonz


   Profil
mathestudent99
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-18

ja klar, mach ich dann wenn ich meine abgabe korrigiert zurück bekomme =)


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Gabral
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.01.2015
Mitteilungen: 20
  Beitrag No.13, eingetragen 2016-11-02

Hallo, ich studiere kein Mathe, habe aber fast die gleiche Aufgabe. Bei mir lautet aber die Aufgabenstellung: Modellieren Sie dieses Problem als Optimierungsproblem. Ich überlege die ganze Zeit und habe nur einfache Gedanken, dass ich mit den Angaben zum Volumen und der Oberfläche einfach nur nach dem Minima schauen muss, aber damit komme ich auch nicht weiter. Könnte mir jemand etwas "Handfesteres" als Einstieg geben? Lese die Fragen oben, aber kann gerade keinen Bezug zwischen den Kugeln und der Höhe der Kiste z.B. herstellen.


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7038
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.14, eingetragen 2016-11-02

In Beitrag #5 und #7 steht schonmal die Zutatenliste und das halbe Kochrezept. Fange an, dass abzuarbeiten und schreibe auf, was dabei herausgekommen ist. Die Aufgabe wirkt gewaltiger, als sie in Wahrheit ist!


   Profil
Goswin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1780
Wohnort: Chile, Ulm
  Beitrag No.15, eingetragen 2016-11-07

Die Formulierung einer Aufgabestellung als ein Optimierungsproblem ist nie eindeutig; man versucht immer, eine "möglichst gute" Formulierung zu finden (hier besser "Formulierung" genannt: "Modellierung" würde man eigentlich für eine angenäherte Formulierung benutzen). Es kann sogar sein, dass einige Formulierungen (die besonders guten) konvex sind und andere nicht - aber das kommt selten vor. Und obwohl es seltsam klingt: eine lineare Optimierungsaufgabe wäre in diesem mathematischen Dialekt ebenfalls "nichtlinear" (nicht mit "nicht linear" verwechseln :-D ), weshalb die Forderung nach Nichtlinearität in der Aufgabestellung gegenstandslos ist. Mit "nichtlinear" ist hier "nicht unbedingt linear" gemeint. Die naheliegenden Formulierungen sind ziemlich sicher nicht konvex, aber vielleicht hat diese Optimierungsaufgabe eine Eigenschaft, die mindestens genauso gut ist: anscheinend haben alle örtlichen Optima den gleichen Zielwert - ich kann jedenfalls kein suboptimales örtliches Optimum finden.


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7038
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.16, eingetragen 2016-11-09

\quoteon(2016-11-07 18:10 - Goswin in Beitrag No. 15) ... ich kann jedenfalls kein suboptimales örtliches Optimum finden. \quoteoff Starte doch mal mit 4 Kugeln in einer Reihe und dem kleinsten umschließenden Quader. Ist das nach deinem Verständnis ein lokales Optimum?


   Profil
Pioch2000
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 55
  Beitrag No.17, eingetragen 2022-10-22

Hi, ich habe auch Probleme mit dieser Aufgabe. Wenn der Quader die Seitenlängen $a,b,c$ hat muss ich die Funktion $S(a,b,c)=2(ab+bc+ac)$ minimieren. Für die Nebenbedingungen hat jede Kugel $K_i$ die Koordinaten $(x_i,y_i,z_i)$ der Mittelpunkte und damit habe ich die Nebenbedingungen bestimmt, dass keine Kugeln sich überlappen oder nicht komplett im Quader liegen. Ich denke aber das ist nicht ganz richtig, da ich jetzt ja die Längen $a,b,c$ als Unbekannte habe und die Koordinaten der Mittelpunkte der Kugeln. Danke für Hinweise. LG


   Profil
Delastelle
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2006
Mitteilungen: 2206
  Beitrag No.18, eingetragen 2022-10-22

Hallo, eine kommerzielle Kugelpackung ist folgende: (namm schmeckt gut!): https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_MP_Kugelpackung_20_Prozent.jpg Viele Grüße Ronald


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7038
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.19, eingetragen 2022-10-24

\quoteon(2022-10-22 18:57 - Pioch2000 in Beitrag No. 17) Hi, ich habe auch Probleme mit dieser Aufgabe. Wenn der Quader die Seitenlängen $a,b,c$ hat muss ich die Funktion $S(a,b,c)=2(ab+bc+ac)$ minimieren. Für die Nebenbedingungen hat jede Kugel $K_i$ die Koordinaten $(x_i,y_i,z_i)$ der Mittelpunkte und damit habe ich die Nebenbedingungen bestimmt, dass keine Kugeln sich überlappen oder nicht komplett im Quader liegen. Ich denke aber das ist nicht ganz richtig, da ich jetzt ja die Längen $a,b,c$ als Unbekannte habe und die Koordinaten der Mittelpunkte der Kugeln. \quoteoff Wieso sollte das ein Problem sein? Weil einige Variablen zwar in den Nebenbedingungen vorkommen, aber nicht in der Zielfunktion? Das ist (in der Praxis) der Normalfall.


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]