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  Elektromagnetischer Schwingkreis |
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Arthur_Dent
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 |  Themenstart: 2004-05-01
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Hallo,
ich habe Probleme die Differentialgleichung für die ungedämpfte Schwingung des elektromagnetischen Schwingkreises herzuleiten.
Hab zwar schon gegooglet, aber was ich fand war sehr unbefriedigend.
Mein Problem liegt darin, das ich die Differentialgleichung nicht herleiten kann, wenn der Kondensator ungeladen ist.
Dazu folgende Überlegung:
u_C ist die Spannung am Kondensator und u_L die äußere Spannung an der Spule.
u_L=L*di(t)/dt
u_C=q_c(t)/C
Der Kondensator sei geladen!
Dann gilt nach der Maschenregel: u_c-u_l=0
Desweiteren folgt: q_c(t)/C-L*di(t)/dt
Die Ladung die der Kondensator dabei an den Stromkreis abgibt ist aber q_c(t)=Q_0-q_k(t), wobei q_k(t)
die an den Stromkreis abegegeben Ladung ist.
Damit folgt nach Differentation dieser Gleichung nach der Zeit für die Differentialgleichung: q_c(t)/C+L*(d^2)q_c(t)/dt^2
Nun sei der Kondensator entladen!
Man kann die gleiche Beziehung der Spannungen wie oben verwenden. Die Beziehung der Ladung ist nun aber nicht mehr gültig.
Wie komme ich aber nun zur Differentialgleichung?
Gruß Arthur Dent
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shadowking
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-05-01
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Hi Arthur_Dent,
das ist schon mal nicht schlecht, was Du geschrieben hast.
Es kommt aber gar nicht auf den Zustand des Kondensators an,
denn die Gleichungen gelten zeitunabhängig.
Zu jedem Zeitpunkt gilt nach der Maschenregel
u_C(t) - u_L(t) = 0.
u_L(t) hängt aber mit dem durch die Spule fließenden Strom
über u_L(t)=-L*I^*(t) zusammen
(Lenzsche Regel - Vorzeichen beachten!), auch zu jedem Zeitpunkt t.
Und u_C(t) ist ebenfalls jederzeit gleich Q(t)/C.
Wenn man dies einsetzt und I(t) = Q^*(t) berücksichtigt:
Q(t)/C+L*Q^**(t)=0
Lösen mit dem Ansatz Q(t)=Q^^*sin(\omega*t)
führt zu \omega=1/sqrt(C*L).
Gruß shadowking
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-02
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Hi SplendourMN,
danke das du auf meine Frage eingehst.
Ich verstehe folgendes nicht: Du sagst zwar das u_c(t)-u_L(t)=0 gilt
aber dann müsstest du meines Erachtens für u_L(t)=L*di/dt setzen.
Wenn du aber nach der Maschenregel u_c(t)+u_ind(t)=0 setzt, dann ist
u_ind(t)=-L*di/dt.
u_L(t)ist für mich die äußere Spannung die eigentlich der Spannung des Kondensators
entgegenwirkt. u_ind(t) wirkt für mich dem Storm entgegen, der durch die entladung
des Kondensators verursacht wird.
Könntest du mir bitte deine Vorgehensweise erklären.
Gruß Arthur Dent
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-03
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shadowking
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| Beitrag No.4, eingetragen 2004-05-03
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Hi Arthur,
eine äußere Spannung gibt es im Schwingkreis nicht.
Er besteht aus nichts weiter als einem Kondensator und
einer Spule. Damit muss nach der Maschenregel u_L+u_C=0
gelten. Nun heißt es zwar u_L=-L*di/dt , doch ist das die
Selbstinduktionsspannung, die ein Messgerät registriert, das mit der
Spule zusammen in einen Kreis geschaltet wird. An der Spule selbst muss
also die entgegengesetzte Spannung abfallen. Du hast also insofern
Recht, als dass die induzierte Spannung entgegengesetzt gleich der am
Kondensator anliegenden Spannung ist. Beide Spannungen zusammen müssen
mit der Maschenregel 0 ergeben. Also gilt u_L=L*di/dt .
Andererseits führt der Ansatz u_L-u_C=0 und u_L=-L*di/dt auch zur
Lösung, müsste aber seinerseits begründet werden.
Jedenfalls führt der Ansatz q(t)/C-L*(d^2 q(t))/dt^2=0 nicht zu
harmonischen Schwingungen, muss also falsch sein.
Gruß shadowking
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-03
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Hi SplendourMN,
erstmal Entschuldigung für meine unpräzisen Gedankengänge.
u_L(t) ist für mich die äußere Spannung der Spule. Angenommen man hat eine Spule und einen Widerstand in Reihe geschaltet, die wiederum mit einer Gleichspannungsquelle verbunden sind. Dann ist die Spannung am Widerstand gleichgerichtet zur Spannung an der Spule (bzw. die äußere Spannung der Spule ist gleichgerichtet zur technischen Stromrichtung). Dies hab ich zumindest in mehreren Elektrotechnikskripten so gesehen. Und allgemein gilt für die äußere Spannung (so kenne ich es) an der Spule u_L(t)=L*di/dt . Damit würde ich wieder auf u_C(t)-u_L(t)=0 kommen, womit ich wieder bei meinem Problem wäre.
Bloß wo ist mein Denkfehler?
Gruß Arthur Dent
[ Nachricht wurde editiert von Arthur_Dent am 2004-05-03 20:28 ]
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shadowking
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| Beitrag No.6, eingetragen 2004-05-03
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Ich glaube ich hab es; was Du zuletzt beschrieben hast,
ist gar kein Schwingkreis, sondern ein Gleichstromkreis mit Spule.
Da sind die Spannungsabfälle an Spule und Ohmschem Widerstand natürlich
gleichgerichtet, und zwar der äußeren Spannung entgegen.
Im Schwingkreis fehlt diese äußere Spannung, sie wird vom geladenen
Kondensator übernommen. Daher ist u_L=-u_C, also u_L+u_C=0.
Ferner muss man zwischen induzierter Spannung -L*di/dt und dem
Spannungsabfall über der Spule, der entgegengesetztes Vorzeichen trägt,
unterscheiden: u_L=-u_ind
Mit technischer Stromrichtung hat der Vorzeichenfehler weniger zu tun.
Gruß shadowking
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-04
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Hi SplendourMN,
ich glaube wir reden in gewisser Weise auseinander. Das mit dem Widerstand sollte nur als Beispiel für den Spannungabfall an der Spule dienen. Mir ist immer noch nicht klar wie du auf die Beziehung u_L(t)=-u_C(t) kommst. Gehen wir es mal anders an. Wir haben eine Schaltung, in der der Kondensator parallel zu Spule geschaltet ist. Angenommen die obere Platte ist positiv und damit die untere negativ. Nun definieren wir, das der Spannungsabfall an den einzelnen Komponenten von + nach - gerichtet ist. Damit würde aber nach meiner Ansicht gelten: u_L(t)=u_C(t) mit u_L(t)=L*di/dt und u_c(t)=q_C(t)/C . Damti wäre ich wieder bei meinem Problem für die Aufladung des Kondensators. Könntest du mir bitte sagen wo genau mein Denkfehler ist oder wie du deine Beziehung erhälst.
Gruß Arthur Dent
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Fabi
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2004-05-04
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Hi!
Ich erkenne dein problem jetzt auch endlich, glaube ich:
Die Gesamtspannung im Schwingkreis ist 0. Diese Spannung kann man sich auf zwei Teilspannungen verteilt vorstellen: Die Spannung UC zwischen den beiden Kondensaotoren und die Spannung UL (nicht die induzierte Spannung, sondern die, die von außen an der Spule anliegt, um die induzierte Spannung "auszugleichen"), die an der Spule anliegt.
Es ist also UL+UC = 0.
Die Spannung UL wirkt gegen die in der Spule induzierte Spannung und ist betragsmäßig genauso groß, daher ist
U_L = L*I^*
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2004-05-04 19:45 ]
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-04
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Hi Fabi,
dass genau verstehe ich nicht. Warum gilt u_L(t)+u_C(t)? Nach der Manschenregel ist ja Summe aller Spannungen in einer Masche 0V, oder besser gesagt sum(u_i,i=1,n)=0. Aber diese einzelnen Spannungen müss Vorzeichenbehaftet in diese Summe mit einfließen, da sich das elektrische Feld je nach Polung der einzelnen Komponenten unterschiedlich ausbidet. Daher verstehe ich nicht warum u_L(t)+u_C(t)=0 gilt.
Gruß Arthur Dent
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Fabi
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| Beitrag No.10, eingetragen 2004-05-04
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In der Spule liegt aber die äußere Spannung genau entgegengesetzt zur Induktionsspannung an, damit sie diese ausgleichen kann. Daher verschwindet das - vor der Induktionsspannung wieder, das wollte ich mit meinem Post ausdrücken.
Gruß
Fabi
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-05
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Tut mir leid aber irgendwie verstehe ich den Ansatz nicht. Ich komme einfach nicht auf UC(t)+UL(t)=0.
Gruß Arthur Dent
[ Nachricht wurde editiert von Arthur_Dent am 2004-05-05 22:44 ]
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shadowking
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| Beitrag No.12, eingetragen 2004-05-05
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Vielleicht hilft ja eine kleine Skizze:
Allein die Induktionsspannung der Spule im Schwingkreis
ist es, die den Kondensator auflädt.
Wenn er mit C*u_ind geladen ist, so herrscht zwischen seinen
Platten die Spannung u_C=u_ind . Die Maschenregel u_C+u_L=0
kann also nur gelten, wenn u_L=-u_ind gilt.
Also gilt wegen u_ind=-L*di/dt : u_L=L*di/dt .
Gruß shadowking
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-05
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Danke für die Skizze SplendourMN.
Angenommen der Kondensator ist oben positiv geladen. Dann fällt doch die Spannung von oben nach unten ab. Wenn sich nun der Kondensator entlädt dann ensteht eine Induktionsspannung die von unten nach oben gerichtet ist. Verstehe ich das richtig?
Gruß Arthur Dent
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Hans-Juergen
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Wohnort: Henstedt-Ulzburg
 | Beitrag No.14, eingetragen 2004-05-05
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Hi Arthur,
Du schreibst: "Tut mir leid aber irgendwie verstehe ich den Ansatz nicht.
Ich komme einfach nicht auf UC(t)=UL(t)."
Ich denke mir das so:
Das Voltmeter mißt sowohl die Spannung am Kondensator, UC(t),
wie die Spannung an der Spule, UL(t). Man kann die beiden nicht
voneinander unterscheiden. Deshalb ist UC(t) = UL(t).
Mit freundlichem Gruß
Hans-Jürgen
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-05
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Hi Hans-Jürgen,
da hab ich mich verschrieben. Ich meinte uC(t)+uL(t)=0. Werde es sofort ändern. Danke.
Gruß Arthur Dent
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shadowking
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Dabei seit: 04.09.2003
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| Beitrag No.16, eingetragen 2004-05-05
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Richtig, ohne die Spule wäre der Kondensator nach dem Entladen
einfach leer. Das Entladen bewirkt jedoch den Entladestrom, der
baut das Magnetfeld auf, das induziert die seiner Ursache
entgegengesetzte Spannung, und der Kondensator ist gezwungen,
sich umgekehrt wieder aufzuladen, so dass der ganze Zyklus von
neuem beginnt, bis die Dämpfung alles hat abklingen lassen.
Hans-Jürgen, die Erklärung ist genial. Manchmal sieht man den
Wald vor Bäumen nicht. Woher soll das Voltmeter wissen, ob es
u_L oder u_C messen soll?
Gruß shadowking
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Arthur_Dent
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-05
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Hi SplendourMN,
ich hab jetzt hab ich meinen Denkfehler gefunden. Unsere beiden Herleitungen sind richtig (nicht das ich geglaubt habe du liegst falsch). Tatsache ist, dass bei meiner Herleitung der zweite Fall des Ladestroms nie auftritt. Der Ladestrom ist der Entladestrom. Du bist dabei immer von der Spannung ausgegangen die der Kondensator durch die umgekehrte Polarität animmt. Sehe ich das richtig?
Gruß Arthur_Dent
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shadowking
Senior
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Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.18, eingetragen 2004-05-05
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Das siehst Du richtig. Wenn man es mit einer Masche
zu tun hat wie hier, bietet es sich eben an, den Ansatz
über die Spannung zu machen.
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Arthur_Dent
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 09.03.2003
Mitteilungen: 228
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-06
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Möchte mich bei allen bedanken, die mir geholfen haben.
Gruß Arthur Dent
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