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Strukturen und Algebra » Ringe » ggT einer komplexen Zahl
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Universität/Hochschule ggT einer komplexen Zahl
Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-07-19


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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-07-19


Der euklidische Algorithmus funktioniert in jedem euklidischen Ring.



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Danke für die Antwort!
Dennoch bezog sich meine Frage auf die Vorgensweise. Ich weiß nicht wie ich den ersten Rest ausrechne.

Lysis



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-07-19


Hi.

Die Antwort bezog sich auch auf die Vorgehensweise: Benutze den euklidischen Algorithmus, er funktioniert genauso wie immer.

mfg Gockel.


-----------------
"Der Vatikan hat ja bekanntlich zwei Mikropäpste pro Quadratmeter"



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-07-19


Benutze einfach den Euklidischen Algorithmus, er funktioniert hier wie geschmiert!  😁

Ne, im Ernst: Berechne die Quotienten bei den auftretenden Divisionen zunächst so, also ob du in <math>\mathbb{Q}[i]:=\{x+iy| x,y \in \mathbb Q\}</math> rechnen würdest und "runde" anschließend dessen Real- und Imiginärteil auf die nächste ganze Zahl, um auf die "echten" Quotienten zu kommen. Durch diese Rundung ist der Rest dann i.allg. natürlich nicht mehr 0, aber immer noch "klein" genug in Bezug auf deine Gradfunktion.



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-07-19


Zugegeben, dass der euklidische Algorithmus in jedem euklidischen Ring funktioniert, ist eine triviale Bemerkung, zeigt aber eben auch, wie man die Aufgabe löst. [Daher hatte ich dazu nicht mehr geschrieben - etwas Eigeninitiative gehört zur Lösung der Aufgabe dazu.]

Denn Z[i] ist ein euklidischer Ring. Wenn man sich den Beweis davon anschaut (der ist konstruktiv), so bekommt man auch einen konkreten Algorithmus zur Durchführung der Division mit Rest. Das hat freundlicherweise weird in Beitrag 4 noch einmal wiederholt. [Wenn man diese Aufgabe gestellt bekommt, hat man den Beweis dafür aber ohnehin irgendwo in den Unterlagen stehen - daher habe ich das nicht wiederholt.]

Heutzutage kann fast jede mathematische Grundlagenfrage per google beantwortet werden. Gibt man etwa "Z[i] euclidean" ein, so bekommt man als erstes Suchergebnis schon , wo ausführlich die Division mit Rest in Z[i] erklärt wird. Bei vielen Fragen bekommt man eine Diskussion auf math.stackexchange, wo die Antwort steht.

Im Internet findet man natürlich nicht alles, aber bei solchen Grundlagen geht es eigentlich nur noch darum, die richtigen Suchbegriffe zu finden, auszuprobieren oder schon zu kennen. Genau das habe ich in Beitrag 1 gemacht. Auch wenn das nicht nach einer ausführlichen Hilfestellung aussah, steht da eigentlich schon alles drin, um sich selbst auf den Weg zu machen und den Beweis zu finden.


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Ringe' von Martin_Infinite]



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Also ich versuche mal diese Art von euklidischen Algorithmus anzuwenden ...

2014-07-19 07:18 - weird in Beitrag No. 4 schreibt:
Berechne die Quotienten bei den auftretenden Divisionen zunächst so, also ob du in <math>\mathbb{Q}[i]:=\{x+iy| x,y \in \mathbb Q\}</math> rechnen würdest und "runde" anschließend dessen Real- und Imiginärteil auf die nächste ganze Zahl, um auf die "echten" Quotienten zu kommen. Durch diese Rundung ist der Rest dann i.allg. natürlich nicht mehr 0, aber immer noch "klein" genug in Bezug auf deine Gradfunktion.

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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2014-07-19


2014-07-19 10:02 - Lysis in Beitrag No. 6 schreibt:

also: b/r = (5-i)/(3+ 2i) = 5/7 - i/7
[...]
Leider sehe ich keinen Sinn in meinen Rechnungen ...

Geht mir bei obiger Rechnung genauso. Wie in aller Welt kommst du auf dieses Ergebnis?  😵

Ansonsten ist von der Durchführung her deine Rechnung in Ordnung.

@M_I

Ja, natürlich kann man das auch leicht "ergooglen", was aber für sehr viel anderes hier im Forum auch zutrifft. Ich finde es daher auch nicht so verkehrt, die Grundidee dahinter kurz auszuführen, es bleibt ja dann immer noch die eigentliche Rechnung, mit welcher der TS, wie man oben sehen kann, noch genug Probleme hat.   😉



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


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Lysis



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2014-07-19


2014-07-19 10:54 - Lysis in Beitrag No. 8 schreibt:
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Oh Gott, jetzt stimmt die Division zwar, aber der "eigentliche" Quotient, der bei dir dann offenbar und unverständlicherweise 1 ist, ist dann falsch. Also auf zum nächsten Versuch...  ☹️



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Da ich das Verfahren nicht verstande haben und die Rechnungen stets Fehler aufweisen, beende ich die Aufgabe!
Trotzdem danke für eure Hilfe!

Lysis



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2014-07-19


Schade, schade, dabei warst du eigentlich schon fast am Ziel ! Du bist im Grunde nur zu wenig streng mit dir selbst und müsstest einfach nur hartnäckig und verbissen versuchen, meine obige Anleitung

2014-07-19 07:18 - weird in Beitrag No. 4 schreibt:
Berechne die Quotienten bei den auftretenden Divisionen zunächst so, also ob du in <math>\mathbb{Q}[i]:=\{x+iy| x,y \in \mathbb Q\}</math> rechnen würdest und "runde" anschließend dessen Real- und Imiginärteil auf die nächste ganze Zahl, um auf die "echten" Quotienten zu kommen.

vom Wortsinn her zu erfassen! Im konkreten Fall hat die Division

<math>\frac {5-i}{3+2i}=1-i</math>

zunächst den Quotienten 1-i ergeben, und wenn man den Realteil und den Imaginärteil jeweils auf die nächste ganze Zahl rundet, erhält man natürlich wieder nur 1-i. Mit anderen Worten: Die Division ist sich auch bereits in <math>\mathbb{Z}[i]</math> ausgegangen und der Rest ist 0.



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


in Worten ?

ggT ( 13, 5-i) = 1 -i


Lysis



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2014-07-19


2014-07-19 11:38 - Lysis in Beitrag No. 12 schreibt:
in Worten ?

ggT ( 13, 5-i) = 1 -i

In der Mathematik gibt es ein paar "Stehsätze", welche man sich Wort für Wort gut einprägen sollte. Einer davon lautet:

Man erhält den ggT zweier Elemente a,b eines Euklidischen Rings nach Anwendung des Euklidischen Algorithmus als den

<math>\textbf {letzten nichtverschwindenden Rest}</math>.

Und nein, der ist hier nicht 1-i.



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Dann werde ich den euklidischen Algorithmus in Z[i] wohl nicht verstehen.




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weird
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2014-07-19 11:51 - Lysis in Beitrag No. 14 schreibt:
Dann werde ich den euklidischen Algorithmus in Z[i] wohl nicht verstehen.

Ok, aber trotzdem noch die Frage: Was wäre denn in unserem Fall der letzte nichtverschwindende Rest und damit der gesuchte ggT(13,5-i)?



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Meine Rest sehen wie folgt aus

r_1 = 3+2i
r_2 = 1-i
r_3 = 4
r_4 = -1+2i
r_5 = -4/5 - 8/5 i
r_6 = 3+2i
    .
    .
    .

=> also gibt es keien ggT ?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2014-07-19


Du vermischt da in deiner Aufzählung ganz wild die Quotienten und Reste - Quotienten haben dabei natürlich nichts verloren. Du solltest lieber die Gleichungen der Reihe nach anschreiben, welche sich aus dem Euklidischen Algorithmus ergeben. Das sind hier eh nur zwei, nämlich

<math>13=2\cdot(5-i)+(3+2i)</math>
<math>5-i=(1-i)\cdot(3+2i) \underbrace{+0}_{\text{wird normalerweise weggelassen}}</math>

Die letzte Division, welche sich nicht ausging, wo also der Rest noch nicht verschwindet, ist hier gleich die erste. 3+2i ist mithin der gesuchte ggT.



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Lysis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19


Danke!

Ich fasse mal zusammen:

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fru
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Hallo Lysis!

2014-07-19 15:04 - Lysis in Beitrag No. 18 schreibt:
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2014-07-19 15:04 - Lysis in Beitrag No. 18 schreibt:
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Liebe Grüße, Franz



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