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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Relation überprüfen
Autor
Universität/Hochschule J Relation überprüfen
Kristin
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.10.2002
Mitteilungen: 10
  Themenstart: 2002-10-11

Ich bitte um eine Antwort auf folgende Frage(n): Welche der Grundeigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität) hat die binäre Relation r auf der Menge der natürlichen Zahlen? Welche Paare von Zahlen muss man mindestens hinzufügen, um eine Äquivalenzrelation zu erhalten? Welche Partition gehört zu dieser Äquivalenzrelation?        " k r n <=> k.n ist gerade " Ich weiß nicht wie ich dieses Problem angehen soll.... Dankeschön!

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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14548
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-15

Hi Kristin, Reflexivität bedeutet: aRa Und das gilt nicht, denn aRa bedeutet: a*a ist gerade. Es ist z.B. 4R4, weil 4*4 gerade ist. Dagegen ist nicht 3R3. Die Relation ist symmetrisch, denn wenn a*b gerade ist, dann ist auch b*a gerade, d.h. aRb = bRa. Damit a*b gerade ist, muß eine der beiden Zahlen gerade sein. Dann ist es aber gleichgültig, in welcher Reihenfolge man multipliziert - das Produkt ist gerade. R ist nicht antisymmetrisch, denn es ist z.B. 2R3 und 3R2, aber nicht 2=3. R war ja auch schon symmetrisch. Transitiv: 2R3 und 3R4 => 2R4? Ja. Aber 3R4 und 4R5 => 2R5? Nein! Also nicht transitiv. Was muß man mind. hinzutun? Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv. Es muß also aRa für alle a aus IN gelten. Folglich muß man (1,1), (3,3) usw. hinzutun. Symmetrie war schon gegeben. Nun die Transitivität bedenken? Mit 1R2 und 2R3 muß auch 1R3 in der Relation sein. Ergänze also alle (a,b) mit ungeraden a,b aus IN. Nun überlegen. Welche Paare gehören zu der erweiterten Relation: 1. alle aRb von denen mindestens eines von a,b gerade ist 2. alle aRb von denen mindestens eines von a,b ungerade ist Da fehlen nun aber keine mehr zur vollständigen Menge aller Paare aus IN. Es gibt in der erweiterten Relation nur eine Äquivalenzklasse, der alle Paare aus IN angehören. Gruß Matroid [ Nachricht wurde editiert von matroid am 2003-05-24 18:40 ]

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