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| Autor |
  Johnny Fabi |
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Kristin
Junior 
Dabei seit: 11.10.2002
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2002-10-12
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Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen Ai (i Î I ¹ 0) und Bj (j ÎJ ¹0) gilt:
(Ç Ai) È (ÇBj) = Ç (AiÈBj)
iÎI jÎJ (i,j)ÎI×J
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-12
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Hallo!
Ich will das ganze jetzt mal etwas ausschreiben, damit es klarere wird:
(A1 Ç A2ÇA3 Ç...Ai) È (B1 Ç B2 Ç ... Bj) = (A1ÈB1) Ç (A1 È B2) Ç... (A1 Ç Bj) Ç (A2 È B1) Ç ... (Ai È Bj)
Das ist zu beweisen.
Vereinbarung: Das größte Element in I heiße i, die anderen werden mit k = 1... i bezeichnet. Entsprechend für j und g.
Dazu kannst du wieder die beiden Inklusionen zeigen.
Sei A := A1 Ç A2 Ç ... Ai, entsprechend werde die Menge B definiert.
Also ist die Menge, die sich auf der linken Seite ergibt, A È B.
Sei x Î A È B.
Dann ist x entweder in A oder in B. Sei x obdA in A. Dann ist x in allen Teilmengen A1 ... Ai enthalten. Also ist x auch in allen Ak È Bg, wobei k = 1 ... i und g = 1... j.
Daher ist x auch in der Schnittmenge aller dieser Mengen, also auch in der Menge auf der rechten Seite enthalten.
Also gilt (ÇAk) È (ÇBg) Í Ç (Ak È Bk).
Jetzt die andere Inklusion:
Sei x Î Ç (Ak È Bk).
Zu beweisen: x Î A È B.
Angenommen, es wäre x Ï A È B. Dann wäre x also weder in allen Ak noch in allen Bg enthalten. Es gäbe also ein Ak und ein Bg mit x Ï Ak È Bg. Dann wäre x aber auch nicht mehr in der Menge auf der rechten Seite enthalten, da dies genau die x sind, die in allen Ak È Bg enthalten sind, unabhängig von k und g.
=> Wiederspruch zur Annahme x Î Ç (Ak È Bg)
=> x Î A È B
=> Ç (Ak È Bg) Í (ÇAk) È(ÇBg)
Aus den beiden Inklusionen folgt:
(ÇAk) È (ÇBg) = Ç (Ak È Bg) qed
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-12 16:01 ]
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-12 16:22 ]
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-12 17:29 ]
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-13 13:42 ]
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Ende
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Dabei seit: 15.03.2002
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-12
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Achtung! Nach Voraussetzung muessen werder I noch J endliche Mengen sein.
Gruss, E. 
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-12
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Du bist kleinlich, hast aber wohl oder übel recht...
Gruß
Fabi
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|  Beitrag No.4, eingetragen 2002-10-12
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Der Unterschied ist nur ein formaler und laeuft auf die Vergegenwaertigung des Auswahlaxioms hinaus.
Gruss, E.
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-10-13
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Damit der Vorwurf der Kleinlichkeit auch berechtigt ist:
I und J muessen nicht einmal abzaehlbar sein. Und eine Ordnung gibt es auf beiden Mengen auch nicht.
Das heisst, Du hast gar keine Moeglichkeit, von einem groessten Element zu reden. Selbst, wenn es eine Ordnung gaebe, koenntest Du das noch immer nicht. :-)
Gruss, E. ;-)
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-10-13
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Wie wärs mit folgender Änderung bei der "Vereinbarung":
Sei k,g Î I bzw. J.
Und im Text fliegen alle Ai und alle Bj raus.
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-10-13 13:06 ]
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Ende
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2002-10-13
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Hm, dann gehst Du ueber zur sogenannten 'Puenktchen'-Schreibweise. Das ist eine Frage des Stils. Manche moegen ihn wegen seiner Anschaulichkeit, andere moegen ihn nicht wegen der formalen Fallgruben, die er u.U. birgt.
Du hast diese Schreibweise ja extra dafuer benutzt, wie Du ja auch selbst schreibst, um ein wenig Anschauung einzubringen.
Dir traue ich mittlerweile ohnehin auch genug Bewusstsein zu. In diesem Fall ist dann Dein Beweis vollkommen richtig, formal mustergueltig. Bravo. 
Gruss, E.
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