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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » geordnete Menge
Autor
Universität/Hochschule J geordnete Menge
Alex_Hoelzle
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.03.2002
Mitteilungen: 363
  Themenstart: 2002-10-14

Hallo, wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen: Auf der Menge IN der natürlichen Zahlen sei eine Relation v gegeben durch m v n : <=> gibt es ein q Element IN : m = qn. Zeigen Sie, dass (IN, v) eine geordnete Menge ist. Ist (IN, v) linear geordnet? (Beweisen Sie Ihre Antwort) Vielen lieben Dank! Bin gerade im Umzugsstress und habe kaum Zeit meine Skripte zu lesen/durchzuarbeiten. Danke Alex

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matroid
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Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14533
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-15

Hi Alex, Definition: Eine reflexive, antisymmetrische und transitive binäre Relation auf einer Menge M wird Ordnungsrelation genannt. Die Menge, zusammen mit der Relation heißt dann eine geordnete Menge. Definition: Sind je zwei verschiedene Elemente einer geordneten Menge vergleichbar (hat sie also nur eine maximale Kette), so wird auch die Ordnung selbst Kette oder lineare Ordnung oder Totalordnung genannt. Z.B. sind die Mengen N, Z, Q, R, bzgl. dem üblichen "<" lineare Ordnungen. So, nun ist definiert: aRb :<=> a ist Vielfaches von b. R ist reflexiv, denn a = 1*a R ist antisymmetrisch, denn aus aRb und bRa folgt a=b. Nämlich bedeutet aRb, daß a=q*b und bRa sagt, daß b=p*a => a = p*q*a Mit p und q aus IN kann das nur gelten, wenn p=q=1. Folglich ist a=b. R ist transitiv, denn wenn aRb und bRc heißt das, a=q*b und b=q*c => a=(q*p)*c, also aRc. Damit ist R eine Ordnungsrelation. R ist nicht linear geordnet, denn es ist weder 3R7 noch 7R3. Die Zahlen 3 und 7 sind nicht vergleichbar (ein Beispiel für viele). Gruß Matroid

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