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| Autor |
  Volumen eines Rotationskörpers |
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Bai
Senior 
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
 |  Themenstart: 2014-11-24
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Hallo,
ich möchte das Volumen (und Trägheitsmoment) eines Rotationskörpers A berechnen. Dabei ist
$A:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: r(z)\leq x^2+y^2\leq R(z)\}$
mit stetigen Funktionen r,R $(0\leq r\leq R)$.
Wie sieht denn das Integral ungefähr aus? Es ist ja
$V(A)=\int_A d(x,y,z)=\dots$,
doch was sind die Integrationsgrenzen? Ich kann aus der Bedingung in A natürlich irgendwelche Grenzen basteln, doch in denen tauchen ja im Allgemeinen wieder die 2 anderen Variablen auf, sodass ich am Ende auf einen Term komme, der eben von diesen x,y,z abhängt und das macht ja keinen Sinn. Und außerdem: Von wo bis wo integriere ich denn hier z? Von $r^{-1}(x^2+y^2)$ bis $R^{-1}(x^2+y^2)?$ Ich blicke da gerade nicht wirklich durch!
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-24
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Hallo Bai_Ri_Yan_Huo
Veranschaulichung:
Ein parabolischer Pokal achsensymmetrisch zur z-Achse (pos. z-Richtung zeige nach oben "Mittelfinger" wie üblich pos. x-Achse "Daumen" und pos. y-Achse "Zeigefinger" der rechten Hand ), Fusspunkt des Kelches ist der Ursprung des Koordinatensystems.
Der Pokal hat einen Zierdeckel irgenwie gewölbt, aber auch radialsymmetrisch zur z-Achse, sowie einen auch irgendwie gewölbten radialsymmetrischen "Zierboden", der an irgend einer Stelle unterhalb des Deckel in den Kelch eingearbeitet ist, sodass sich Deckel und Boden nicht schneiden.
So ein "Zierboden" gibt bei richtigen Sport- oder Trinkpokalen natürlich nicht.
Wichtig ist, dass die Punkte des Kelches in Abhängikeit von x und y beschrieben werden (z-Funktionswerte), was man ja auch mit den Punkten des Zierdeckel- und boden machen könnte.
Diese Punkte werden aber speziell über eine jeweilige Radiusfunktion, die dann abhängig von z ist, beschrieben.
D.h. für den Zierdeckel z.B., wenn ich auf einem bestimmten z-Wert bin, umläuft gewissermassen die Radiusfunktion mit konstantem Wert die z-Achse und so ist das für alle z-Werte, die für den Deckel relevant sind.
Kelch, Deckel und Boden seien in dieser Anschauung aus dem selben Vollmaterial gefertigt, bei richtigen Pokalen sind Kelch und Deckel dünnwandig.
Was für Konsequenzen hat das für das Dreifachintegral bzgl. der
Integrationsgrenzen zur Berechnung des Volumens vom Rotationskörper Pokakalkelch zwischen Boden und Deckel ?
Wegen der kompletten Radialsymmetrie bzgl. der z-Achse muss ich gar kein Dreifachintegral berechnen, sondern verwende ein Integral zur Berechnung von Rotationskörpern:
\
V(A)=\pi*int((sqrt(z))^2,z,r(z),R(z))=\pi*int(z,z,r(z),R(z))
Bitte noch selbst zu Ende rechnen. ;)
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-24
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Hallo fermat63,
solche Gedanken habe ich mir auch schon gemacht. Man integriert also einfach scheibchenweise über die z-Achse.
\quoteon(2014-11-24 17:23 - fermat63 in Beitrag No. 1)
\
V(A)=\pi*int((sqrt(z))^2,z,r(z),R(z))=\pi*int(z,z,r(z),R(z))
\quoteoff
Das hatte ich auch so ähnlich schon dastehen. Mir ist $V(A)=\pi\int_A f(z)^2dz$ bekannt. Zwei Fragen:
1. Wieso $\sqrt{z}$?
2. Wenn ich über z integriere, hängen - so wie es jetzt dasteht - die Grenzen selber vom Integranden ab, was für mich ein Problem ist.
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2014-11-24
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Hallo Bai_Ri_Yan_Huo
Zu 1)
Das ist einfach die Randkurve des "Kelches" bezogen auf die z-Achse.
Zu 2)
Ja, du hast recht, das ist ein Fehler von mir, sorry, die Integrationsgrenzen dürfen nicht von z abhängen.
Als Integrationsgrenzen müssen die Umkehrfunktionen verwendet werden. Dazu muss aber gewährleistet sein, dass diese Umkehrfunktionen existieren, also die ursprünglichen Radiusfunktion r(z) und R(z) streng monotones Verhalten aufweisen, zumindest in dem z-Bereich, der infrage kommt.
Die bloße Information aus der Aufgabenstellung das R(z) und r(z) stetig sind reicht da nicht.
Irgendetwas fehlt, kann man mal die originäre Aufgabenstellung sehen.
\
V(A)=\pi*int((sqrt(z))^2,z,r^(-1)(z),R^(-1)(z))=\pi*int(z,z,r^(-1)(z),R^(-1)(z))
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-24
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Zu 1) Sorry, wenn ich nochmal nachfragen muss. Aber wie bist du darauf gekommen, dass es "einfach die Randkurve" ist? Es muss ja etwas mit dem $x^2+y^2$ zu tun haben.
Zu 2) Der Definitionsbereich ist kompakt. Siehe hier:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/40795_Volumen.png
Aber monoton steigend/fallend sind die Funktionen deshalb trotzdem nicht. Die Herangehensweise hier ist auch sehr physikalisch. Warum gehen wir nicht gleich in Kugelkoordinaten über. :-D
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Knaaxx
Senior 
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.5, eingetragen 2014-11-25
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Hallo Bai_Ri_Yan_Huo
Meiner Meinung nach ist das bisher dazu erklärte, durchgehend unzutreffend.
Das Volumenintegral sollte so aussehen
\
V=2*\pi* int(int(r,r,sqrt(r(z)),sqrt(R(z))),z,a,b)
Das lässt sich nicht vollständig auflösen, aber muss das zwingend so sein? Möglicherweise interpretiere ich ebenso falsch und das ist auch unzutreffend.
Sollten keine Gegenstimmen eintrudeln, könnte es stimmen.
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-25
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Hi Knaaxx,
das sieht doch schon mal plausibel aus! Ich zweifle dennoch daran, dass so ein Lösungsweg intendiert war.
\quoteon(2014-11-25 01:00 - Knaaxx in Beitrag No. 5)
Das lässt sich nicht vollständig auflösen, aber muss das zwingend so sein?
\quoteoff
Was meinst du denn mit vollständig? Ich denke mir jetzt einfach Namen für die Stammfunktionen aus und schreibe es so hin.
Da wir die a) über einen solchen Umweg gemacht haben (unabhängig davon, ob das jetzt richtig oder falsch ist) bin ich mir nicht sicher, wie ich die b) angehen soll. Ich hätte es jetzt einfach analog so aufgeschrieben:
$\displaystyle T=2\pi\int\limits_a^b\int_{\sqrt{r(z)}}^{\sqrt{R(z)}}r^3drdz$
Wobei das natürlich vollkommener Unsinn sein könnte.
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.7, eingetragen 2014-11-25
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Ich denke das sieht gut aus, saubere Analogie, fällt mit a) ....
vergiss "vollständig", das hast du schon treffend beantwortet
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-25
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Ich bin ja immer noch am Zweifeln. Da sich anscheinend wirklich keiner mit einem Veto zu Wort meldet, gehe ich jetzt davon aus, dass es entweder richtig ist oder kein anderer weiß, wie es geht (das halte ich jedoch für äußerst unwahrscheinlich). Ich werde nächste Woche auf jeden Fall die korrekte Lösung posten.
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Inari
Junior 
Dabei seit: 22.11.2014
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.9, eingetragen 2014-11-26
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Ich gebe mal einen Denkanstoß: kennst Du Zylinderkoordinaten? Damit ist auch klar, warum das von Knaaxx vorgeschlagene Integral meiner Meinung nach vollkommen richtig ist. Dies kann noch ein wenig weiter berechnet werden, am Ende benötigst Du jedoch die Radialfunktionen in Abhängigkeit von z, um das Volumen auch wirklich zu berechnen ...
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2014-11-26
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Mein Ergebnisvorschlag soweit man das ausrechnen kann, solange R(z) und r(z) nicht mit Funktionsgleichungen vorliegen.
\
V(A)=\pi*(int((R(z)-r(z))^2,z,a,b)+a^2/2)*VE
J_ges(A)=(int(int(int(\rho^3*,\rho,0,(R(z)-r(z))),z,a,b),\phi,0,(2*\pi))+(a^3*\pi)/6)*TrmE
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.11, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-26 23:03 - fermat63 in Beitrag No. 10)
\
V(A)=\pi*(int((R(z)-r(z))^2,z,a,b)+a^2/2)*VE
J_ges(A)=(int(int(int(\rho^3*,\rho,0,(R(z)-r(z))),z,a,b),\phi,0,(2*\pi))+(a^3*\pi)/6)*TrmE
\quoteoff
Asymmetrie bezüglich a, wo soll die herkommen?
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-01
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Okay, der Lösungsweg war zwar ein anderer, das Ergebnis war jedoch gleich. Und vor allem ist der hier benutzte Ansatz etwa 5x schneller und papiersparender, speziell Teilaufgabe b)! Ich danke nochmals. :-)
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Bai hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bai hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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