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| Autor |
 y'' = A*(exp(-B*y) - exp(C*y)) |
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hermes
Junior 
Dabei seit: 19.10.2012
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2014-11-25
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Hallo liebe Community,
ich suche die Lösung für eine ODE ähnlich dem Betreff.
Genau geht es um die folgende Gleichung:
y'' = a * [ exp(-b*(c-y)) - exp(d*(c-y)) ]
wobei alles reelle Zahlen sind.
Ohne den Term exp(d*(c-y)) lässt sich die Gleichung per Maple lösen:
\sourceon
> eq_mf := diff(y(x),x$2) - a*exp(-b*(c-y(x)))=0;
/ 2 \
|d |
eq_mf := |--- y(x)| - a exp(-b (c - y(x))) = 0
| 2 |
\dx /
> dsolve(eq_mf,y(x));
/ 1/2 1/2 2 \
| _C2 (_C1 b) x (_C1 b) |
_C1 |tan(-------------- + ------------) + 1|
\ 2 2 /
b c + ln(1/2 ---------------------------------------------)
a
y(x) = -----------------------------------------------------------
b
\sourceoff
Mit dem Term jedoch findet Maple keine geschlossene Lösung:
\sourceon
> eq_mf2 := diff(y(x),x$2) - a*(exp(-b*(c-y(x))) - exp(d*(c-y(x))))=0;
/ 2 \
|d |
eq_mf2 := |--- y(x)| - a (exp(-b (c - y(x))) - exp(d (c - y(x)))) = 0
| 2 |
\dx /
> dsolve(eq_mf2,y(x));
y(x)
/
| b d
| ------------------------------------------------------------------- d_a - x - _C2 = 0,
| 1/2
/ (b d (2 a exp(_a b - b c) d + 2 a exp(-_a d + c d) b + _C1 b d))
y(x)
/
| b d
| - ------------------------------------------------------------------- d_a - x - _C2 = 0
| 1/2
/ (b d (2 a exp(_a b - b c) d + 2 a exp(-_a d + c d) b + _C1 b d))
\sourceoff
Kann mir hier jemand weiterhelfen beim Finden der Lösung? (mit oder ohne Maple)
Besten Dank im Voraus
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 Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-25
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Hi hermes,
wie immer bei DGLen der Form y'' = g(y) (also solche, in denen die erste Ableitung y' nicht vorkommt) schlage ich die Energie-Methode vor, das heißt, multiplizieren mit y' und dann integrieren.
Dann sieht man auch, warum man nicht weiterkommt, und warum es mit nur einem Term klappt.
Es bleibt zwar nur noch ein Integral übrig (mit einer Quadratwurzel darin), aber es kann nicht durch elementare Funktionen gelöst werden.
Gruß Buri
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| hermes hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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