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Kristin
Junior 
Dabei seit: 11.10.2002
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2002-10-15
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seien f:A -> B eine Abbildung, M1,M2 Ì A; N1,N2 Ì B
Zeige:
a) f ^-1 (f(M1)) É M1
b) f(f ^-1(n1)) Ì N1
Gib jeweils Beispiele (f, A, B, ... explizit festlegen!) so an, dass kein bzw. ein gleichheitszeichen auftritt.
DANKE!
Anm.: f ^-1 .... "f hoch minus eins"
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 Profil
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14538
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-15
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Hi Chris,
nachdenk....
Beispiel: f : x -> sin(x)
mit M1 = [0,4pi]
Es ist f(M1) = [-1,1].
Es ist die Umkehrfunktion von sin der arcsin.
arcsin([-1,1]) = [0,2pi], denn die Umkehrfunktion muß eine Funktion sein, d.h. eine eindeutige Wertzuordnung ergeben. Das erreicht man i.d.R. dadurch, daß manbei periodischen Funktionen den Hauptwert der Funktion als Umkehrfunktion nimmt.
Es ist f^-1(f([0,4pi])) = [0,2pi] Ì [0,4pi].
Bei injektiven Funtionen gilt Gleichheit.
Gruß
Matroid
PS: Fortsetzung folgt.
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Profil
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-15
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Grüße,
Also...,
a)
Zu zeigen ist, dass alle Elemente der Menge M1 auch Elemente von f^-1 (f(M1)) sind.
f(M1) ist Menge aller yeB, für die ein xeM1 existiert, so dass f(x) = y.
f^-1(f(M1)) ist die Menge aller xeA, für die f(x)ef(M1).
Sei meM1 beliebig. Dann ist offensichtlich f(m)ef(M1) => mef^-1(f(M1))
b)
f^-1(N1) ist die Menge aller xeA mit f(x)eN1. (*) => Sei nef(f^-1(N1)) beliebig, dann ist wegen (*) neN1.
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14538
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-15
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Grübel: Ist Chris = Kristin?
Problem: was ist f^-1 in der Aufgabe?
Anscheinend fehlt mir etwas.
Erste Möglichkeit: f^-1(Y) ist { xÎA | f(x) Î Y }
Zweite Möglichkeit: f^-1(Y) ist { xÎA | es ex. ein
y aus B mit f^.1(y) = x }
Während ersteres die Menge alle Urbilder ist, ist letzteres die Menge der Bilder der Umkehrfunktion.
Eine Umkehrfunktion f^-1 ex. aber nur, wenn die Abbildung f injektiv ist.
Da das nicht in der Voraussetzung steht, nehme ich an, daß die 1. Möglichkeit die ist, die hier gemeint ist.
Zeige: f^-1(f(M)) É M.
Sei also x Î M.
Es ist (im Sinne von Möglichkeit 1) f^-1(f(M)) = { x Î A | f(x) Î f(M) }
Da nach Annahme x Î M ist f(x) Î f(M) und folglich x Î f^-1(f(M))
Beispiele sind noch gefragt:
A = B = IR
a. f(x) = x
M = [-1,1]. Es ist f(M) = [-1,1] und f^-1(f(M)) = [-1,1]
b. f(x) = x²
M = [0,1]. Es ist f(M) = [0,1] und f^-1(f(M)) = [-1,1]
Gruß
Matroid
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