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  Paraboloid |
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Han
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 806
Wohnort: Linz, Österreich
 |  Themenstart: 2014-11-26
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Hallo,
Folgendes Beispiel:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7766_Sni_769_mek_obrazovky_2014-11-26_v_13.11.24.png
Ich komme nicht auf die Gleichung der Parabel.
Allgemein lautet ja die Gleichung: a*x^2+b*x+c
Wahrscheinlich komme ich wegen der Durchmesser auf die Gleichung der Parabel aber ich komme auf keine konkrete Punkte der Parabel außer (0;0)
lg,
Han
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majoka
Senior 
Dabei seit: 25.02.2014
Mitteilungen: 810
| Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-26
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Edit: Hier stand etwas falsches. Danke an gaussmath für den Hinweis.
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gaussmath
Senior
Dabei seit: 16.06.2007
Mitteilungen: 9044
Wohnort: Hannover
 | Beitrag No.2, eingetragen 2014-11-26
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Hallo,
es gilt y2-y1 = 6 = a(x22 - x12), was man nach a auflösen kann.
Edit: Verwende für x2 und x1 jeweils die halben Durchmesser.
Grüße, Marc
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2014-11-26
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Hi Han
Um es etwas ausführlicher zu formulieren:
Grundsätzlich hat eine Parabel die Form
\ll(1)f(x)=a*x^2+b*x+c
Nun ist diese hier symmetrisch zur y\-Achse, d.h. der b*x Term entfällt.
Außerdem geht sie durch den Urspung, d.h. c\=0.
Bleibt also noch
\ll(2)f(x)=a*x^2
Nun kommen die anderen Informationen ins Spiel. Es muß gelten
\ll(3a)f(x_1)=y_1, wobei x_1=d_1/2=4dm, und
\ll(3b)f(x_2)=y_2 mit x_2=d_2/2=5dm
Außerdem kennen wir noch die Höhe der Tonne:
\ll(4)h=6dm=y_2-y_1
Einsetzen von y_1 und y_2 ergibt schließlich
\ll(5)6dm=a*(5dm)^2-a*(4dm)^2=a*((5dm)^2-(4dm)^2)
Gruß vom ¼
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
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Wohnort: Wien
 | Beitrag No.4, eingetragen 2014-11-27
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Hallo Han!
Um möglichen Mißverständnissen vorzubeugen (deren Wahrscheinlichkeit mir nicht zuletzt durch diese...
\quoteon(2014-11-26 13:16 - Han im Themenstart)
Ich komme nicht auf die Gleichung der Parabel.
Allgemein lautet ja die Gleichung: a*x^2+b*x+c
\quoteoff
... Äußerungen von Dir relativ groß erscheint), betone ich:
Es gibt hier gar nicht "die" Gleichung der Parabel!
(Abgesehen davon handelt es sich bei Deinem Term um gar keine Gleichung, aber das ist eine ganz andere Geschichte ...)
\quoteon(2014-11-26 23:42 - viertel in Beitrag No. 3)
Grundsätzlich hat eine Parabel die Form
\ll(1)f(x)=a*x^2+b*x+c
Nun ist diese hier symmetrisch zur y\-Achse, d.h. der b*x Term entfällt.
Außerdem geht sie durch den Urspung, d.h. c\=0.
\quoteoff
Auch das scheint mir in die falsche Richtung zu gehen, weil es suggeriert, daß diese Form der Parabelgleichung (einschließlich der Zusatzbedingungen b=c=0) aus der Aufgabenstellung irgendwie "ableitbar" wäre.
Dem ist aber nicht so (die beigefügte Skizze dient nur zur Unterstützung der Anschauung und könnte auch ersatzlos gestrichen werden, ohne daß sich die Aufgabenstellung inhaltlich änderte). Die Aufgabe verlangt vielmehr vom Schüler, die Situation eigenständig zu modellieren, was insbesondere das Aufstellen einer geeigneten Parabelgleichung erfordert. Dies ist aber auf vielfache Art und Weise möglich und bedarf jedenfalls in einem ersten Schritt der Festlegung eines Koordinatensystems (bzgl. dessen sich die Parabel und deren Rotation dann bequem beschreiben lassen).
Die beigefügte Skizze soll den Schüler offenbar dabei unterstützen (ihn von Irrwegen abhalten), beraubt ihn dadurch aber der Möglichkeit, diese erste Teilaufgabe der Fixierung eines günstigen Koordinatensystems unbeeinflußt zu lösen. Damit wird nicht nur das Erreichen eines der wesentlichsten Lernziele behindert, sondern sogar dessen Verschleierung Vorschub geleistet (was sich ja in diesem Thread exemplarisch auch zeigt).
Der Schüler selbst soll also ein bequem handzuhabendes Koordinatensystem fixieren, zum Beispiel, indem er die Symmetrieachse der Regentonne als y-Achse und dann auf ihr den Scheitelpunkt des hypothetischen Paraboloids, aus dem die Tonne ausgeschnitten gedacht werden soll, als Nullpunkt wählt. Danach bleibt noch die Orientierung der y-Achse festzulegen (und sich klar zu machen, daß man aus Symmetriegründen von der x-Achse nur zu fordern braucht, daß sie normal auf die y-Achse durch deren Nullpunkt verläuft). Wenn er das schafft, dann wird ihm die nachfolgende Rechnung leicht fallen. Aber auch andernfalls ließe sich die Aufgabe lösen, grundsätzlich könnte man die Lage der Tonne relativ zu einem Koordinatensystem ja beliebig verändern (so würde beispielsweise der andere Ansatz y=42-ax2 die Rechnungen gar nicht wesentlich erschweren).
Jetzt habe ich doch viel mehr dazu geschrieben als zunächst beabsichtigt. Aber es war mir ein Anliegen, darauf hinzuweisen, daß es hier keine "gottgegebene" Parabelgleichung gibt, die es dann primär aufzufinden gelte, sondern daß dem das eigenständige Festlegen eines Koordinatensystems zeitlich vorausgehen muß (und daß diesem Schritt auch logisch und didaktisch der Primat im Akt der Modellierung zukommt). Und wenn das ein wenig zum Nachdenken anregt, so sind diese Zeilen auch nicht umsonst geschrieben worden.
Liebe Grüße, Franz
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.5, eingetragen 2014-11-27
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@fru
Zunächst Danke für's Ausbessern des Fehlers, ich habe die Korrektur in meinem Post eingebaut.
Aber wie kommst du auf die Idee, dem Aufgabensteller vorzuschreiben, was er mit seiner Aufgabenstellung zu beabsichtigen hat und wie er sie präsentiert?
Für dich mag es Kinderkram sein, für viele Schüler ist es auch mit beigefügtem Bild ein Horror.
\quoteon(fru)
Auch das scheint mir in die falsche Richtung zu gehen, weil es suggeriert, daß diese Form der Parabelgleichung (einschließlich der Zusatzbedingungen b=c=0) aus der Aufgabenstellung irgendwie "ableitbar" wäre.
\quoteoff
Genau diese „Ableitung“ ist aber anscheinend vom Aufgabensteller durch das Bild beabsichtigt.
Ohne selbiges geht die Symmetrie natürlich aus dem Umstand hervor, daß es ein Paraboloid werden soll, desses Rotationsachse am sinnvollsten die y-Achse ist.
c läßt sich (eigentlich) gar nicht bestimmen, das macht aber nichts, da eine Verschiebung des Paraboloids entlang der Rotationsachse nichts an dessen Form ändert. c kann also mitgeschleppt werden, fällt aber in allen relevanten Rechnungen raus.
Du hast – wie immer – mit deinen exakten Ausführungen Recht.
Nur deine Umdeutung der Aufgabenstellung gefällt mir nicht.
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fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
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| Beitrag No.6, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-27 02:48 - viertel in Beitrag No. 5)
Nur deine Umdeutung der Aufgabenstellung gefällt mir nicht.
\quoteoff
Ich bin mir nicht bewußt, die Aufgabenstellung umgedeutet zu haben.
Vielmehr poche ich sogar im Gegenteil darauf, die Aufgabenstellung genau so zu nehmen, wie sie ist und ihr also insbesondere nichts hinzuzufügen, das sie nicht beinhaltet (zum Beispiel der Skizze keine über ihre als solche hinausgehende Bedeutung zuzuschreiben).
Vielleicht habe ich mich nicht klar genug ausgedrückt, aber ich wollte auch nicht allzu ausufernd werden (und will das immer noch nicht). Jedenfalls scheinst Du mich in wesentlichen Punkten mißverstanden zu haben, was aber nicht weiter schlimm ist.
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.7, eingetragen 2014-11-27
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Ich habe dich nicht mißverstanden, ich habe es gar nicht verstanden (den Text an sich schon, nur nicht die Motivation dahinter).
Warum streitest du der Zeichnung (die Bezeichnung „Skizze“ halte ich für dieses Bild für zu schwach) Informationsgehalt ab, z.B. bzgl. der Lage des Scheitels?
Ich weiß nicht, aus welchem Buch die Aufgabe ist, und für welchen Schülerkreis sie gedacht ist (Grundkurs, Leistungskurs, xxx). Aber wenn der Autor dem Aufgabentext solch ein genaues Bild beilegt, dann wird er sich etwas dabei gedacht haben. Ok, hin und wieder denken manche Autoren etwas schräg, aber das wollen wir doch nicht gleich allen unterstellen.
Wenn einer Aufgabe ein Bild beigefügt ist, das wirklich als Skizze gedacht ist, dem also insbesondere nicht die wahren Längen-/Größenverhältnisse zu entnehmen sind, dann steht das i.d.R. auch explizit dabei, etwa in der Art „Das nebenstehende Bild ist nicht maßstäblich.“
Meinen Schülern hatte ich kürzlich diese Aufgabe gestellt:
Ein Quadrat mit dem Umfang 20cm wird in zwei Rechtecke unterteilt. Eines der Rechtecke hat den Umfang 16cm, welchen Umfang hat das andere?
Anmerkung: Das Bild ist nicht zum Abmessen der Längen geeignet.
\geo
ebene(300,300) x(-3,3) y(-3,3)
nolabel()
fill(0,0,antique)
p(-2,-2,P1,hide)
p( 2,-2,P2,hide)
p( 2, 2,P3,hide)
p(-2, 2,P4,hide)
s(P1,P2)
s(P2,P3)
s(P3,P4)
s(P4,P1)
p(-0.5,-2,Q1,hide)
p(-0.5, 2,Q2,hide)
s(Q1,Q2)
\geooff
geoprint()
Fatal – für die Schüler – wäre es gewesen, wenn ich das Quadrat mittig geteilt hätte. Ohne Nachdenken wären die meisten Antworten ziemlich sicher in die Richtung „Auch 16cm.“ gegangen (was auch trotz der Skizze als Antwort im Angebot war).
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gaussmath
Senior
Dabei seit: 16.06.2007
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Wohnort: Hannover
| Beitrag No.8, eingetragen 2014-11-27
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Ich denke, die Skizze soll den Schüler dabei unterstützen, auf eine möglichst einfache Parabel zu kommen. Die wesentlichen Informationen entnimmt man aber aus dem Aufgabentext.
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
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| Beitrag No.9, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7)
Ich habe dich nicht mißverstanden [...]
\quoteoff
Da bin ich mir nicht so sicher. Es ist aber nicht weiter wichtig.
\quoteon(2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7)
[...], ich habe es gar nicht verstanden (den Text an sich schon, nur nicht die Motivation dahinter).
\quoteoff
\quoteon(2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4)
Damit wird nicht nur das Erreichen eines der wesentlichsten Lernziele behindert, sondern sogar dessen Verschleierung Vorschub geleistet [...].
\quoteoff
Natürlich sind damit die allgemeinen Lernziele des Mathematikunterrichts im Besonderen, aber auch der Schule im Allgemeinen gemeint (und nicht etwa welche, deren Erreichen der Autor der vorliegenden Aufgabe konkret im Sinn gehabt haben mag).
\quoteon(2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4)
Um möglichen Mißverständnissen vorzubeugen [...], betone ich: [...]
\quoteoff
\quoteon(2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4)
[...] es war mir ein Anliegen, darauf hinzuweisen, daß es hier keine "gottgegebene" Parabelgleichung gibt, die es dann primär aufzufinden gelte, sondern daß dem das eigenständige Festlegen eines Koordinatensystems zeitlich vorausgehen muß (und daß diesem Schritt auch logisch und didaktisch der Primat im Akt der Modellierung zukommt). Und wenn das ein wenig zum Nachdenken anregt, so sind diese Zeilen auch nicht umsonst geschrieben worden.
\quoteoff
Das beschreibt doch die "hinter meinem Text stehende Motivation" eigentlich schon recht gut. Ich habe auch jetzt gerade keine Zeit, mich näher darüber auszulassen, weil ich dringend weg muß. Mehr dazu bei Bedarf also vielleicht später.
\quoteon(2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7)
Warum streitest du der Zeichnung (die Bezeichnung „Skizze“ halte ich für dieses Bild für zu schwach) Informationsgehalt ab [...]
\quoteoff
Wenn Du mit "Informationsgehalt" meinst, daß die Zeichnung etwas enthielte, ohne das die Aufgabe nicht lösbar wäre, dann lautet meine Antwort "weil es wahr ist": Die ganze Aufgabenstellung wäre auch ohne diese Zeichnung schon vollständig und nur etwas schwieriger als mit ihr.
Denn die in der Zeichnung enthaltenen Informationen sind zum eigentlichen Aufgabentext redundant. Insoweit sie über diesen hinausgehen, sind sie nur als Lösungshilfe anzusehen, indem sie wesentliche Ansätze für eine sinnvolle Modellierung vorwegnehmen, sodaß dem Schüler dieser Teil der mathematisch-geistigen Arbeit erspart bleibt.
Ich dachte aber, das ginge ohnehin schon aus meinem Beitrag hervor:
\quoteon(2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4)
[...] die beigefügte Skizze dient nur zur Unterstützung der Anschauung und könnte auch ersatzlos gestrichen werden, ohne daß sich die Aufgabenstellung inhaltlich änderte [...]
\quoteoff
\quoteon(2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4)
Die beigefügte Skizze soll den Schüler offenbar [...] unterstützen (ihn von Irrwegen abhalten) [...]
\quoteoff
\quoteon(2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7)
[...], z.B. bzgl. der Lage des Scheitels?
\quoteoff
Daß z. B. die Lage des Scheitels grundsätzlich frei wählbar ist, sollte klar sein (natürlich kann man sich das Lösen durch die Wahl leichter oder schwerer machen, aber das ist nur eine Frage der Lösungsstrategie), seine freie Verschiebbarkeit entlang der y-Achse hast Du ja gegen Ende Deines Beitrags Nr. 5 sogar selbst beschrieben.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Knaaxx
Senior 
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.10, eingetragen 2014-11-27
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Natürlich braucht es eine "gottgegebene Parabelgleichung", wie sonst sollte der Schüler auf einen Ansatz in einer geeigneten Form kommen können. Ich kann mir nicht vorstellen, dass ein Analphabet eine Funktionsgleichung welcher Art auch immer, mal eben so. aus dem Ärmel schütteln könnte und damit auch noch umzugehen wüsste.
Wenn schon solche Überlegungen angestellt werden, dann bitte mit echtem Tiefblick und nicht aus jener eingeschränkten Sicht eines Menschen der nicht mehr erkennt, was er alles an filtrierenden Prozessen in seinem Überlegungen mit drin hat deren er sicht selbst nicht mehr bewusst ist, bzw sein kann. Genau dies ist mit ein Grund warum entsprechende Lernprozesse, nicht oder nur behindert vorankommen.
@ fru,
du brauchst nicht erst zu einer "Gegenposition" ansetzen. Meine Meinung hierzu ist durchdacht und gefestigt, da kannst auch du nichts dran rütteln, nicht die Spur. Ich stehe hier im Kern hinter viertel.
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fru
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| Beitrag No.11, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-27 12:51 - Knaaxx in Beitrag No. 10)
@ fru,
du brauchst nicht erst zu einer "Gegenposition" ansetzen.
\quoteoff
Diesem Vorschlag komme ich gerne nach, indem ich die inhaltliche Seite Deines Beitrages unkommentiert lasse. Es sei mir aber dennoch gestattet, diese ...
\quoteon(2014-11-27 12:51 - Knaaxx in Beitrag No. 10)
[...] nicht aus jener eingeschränkten Sicht eines Menschen der nicht mehr erkennt, was er alles an filtrierenden Prozessen in seinem Überlegungen mit drin hat deren er sicht selbst nicht mehr bewusst ist, bzw sein kann.
\quoteoff
... darüber weit hinausgehende (offenbar auf mich bezogene) Bemerkung mit der Bitte um künftiges Unterlassen solcher grenzwertiger persönlicher Angriffe als unpassend und unqualifiziert schärfstens zurückzuweisen.
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Knaaxx
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Dabei seit: 06.05.2006
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| Beitrag No.12, eingetragen 2014-11-27
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Selbstverständlich war das auf deine Ausführungen hier bezogen (auf was sonst sollte das in diesem Kontext bezogen gewesen sein), aber eben nicht auf dich als Person, sondern Denkprozesse von befangenen Personen als solche. Und ja doch, ich halte dich für eine befangene Person (hat nichts mit Beleidigungen, Angriffen, Unterstellungen zu tun, sondern mit "Interessenüberschneidungen", und hat in Folge auch nichts mit dir persönlich, sondern mit tief involvierten Menschen, ganz allgemein!! zu tun)
Einen Angriffsversuch auf dich war das nicht, allenfalls war das ein "Angriffsversuch auf deine Ausführung" wenn du denn unbedingt einen "Angriff" in diesem Zusammenhang brauchst.
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gaussmath
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Dabei seit: 16.06.2007
Mitteilungen: 9044
Wohnort: Hannover
| Beitrag No.13, eingetragen 2014-11-27
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Ich verstehe den Wind hier nicht. Die Skizze ist nunmal gegeben und sie verringert den Schwierigkeitsgrad. Über den Schwierigkeitsgrad haben wir uns hier nicht auszulassen. :-o
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Han hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Han hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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