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| Autor |
 DGL zu gegebenem Fundamentalsystem? |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2014-12-20
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Hallo zusammen,
die Tage hatte ich eine Aufgabe vor mir, bei der wir vom Fundamentalsystem auf die minimale DGL schließen sollten, die dieses Fundamentalsystem hat.
$U_1(x)=cos(x); U_2(x)=e^x$
Mein Ansatz wäre nun gewesen, dass ich ja einen Eigenwert $x_1=1$ und zwei weitere mit +-i, wobei die Konstante Cx beim Sinus Term Null wäre. Jetzt frag ich mich ob dieser Ansatz richtig ist und würde dann nicht der Sinus-Term ebenfalls im Fundamentalsystem erscheinen, selbst wenn die Konstante Cx Null ist?
Grüße
Dennis
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-20
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Hallo, Dennis,
am Einfachsten ist es, wenn du dir zunächst ein komplexes Fundamentalsystem überlegst. Wegen $\cos x=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ muss das charakteristische Polynom die Nullstellen $\pm i$ haben.
Bei einem reellen Fundamentalsystem ist dann natürlich der Sinus mit dabei, auch wenn er in der konkreten Lösung nicht auftaucht.
Wally
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-20
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Aaaaha. Ja jetzt wird das auch klar.
Dann ist es aber richtig, dass meine homogene DGL minimaler Ordnung lauten muss:
$y'''_{(x)}-y''_{(x)}+y'_{(x)}-y_{(x)} = 0$
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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| Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-20
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So isses richtig :)
Wally
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4878
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.4, eingetragen 2014-12-21
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Eine kurze Rückfrage meinerseits: Kann man sich sicher sein, dass es keine lineare homogene DGL (ohne die Forderung nach konstanten Koeffizienten) zweiten Grades geben kann, die als Lösung das angegebene Fundamentalsystem, also ohne den sin, besitzt? Ich denke, dass es die nicht geben kann, mir ist aber bisher nicht klar, wie man das zeigen kann.
Grüsse
und einen schönen Adventssonntag
gonz
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
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| Beitrag No.5, eingetragen 2014-12-21
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Hallo, gonz,
aber natürlich gibt es die (wie jeder weiß, der Aufgaben basteln statt lösen muss).
Implizit hatte ich "konstante Koeffizienten" unterstellt, weil solche Probleme üblicherweise in diesem Zusammenhang gestellt werden.
Mit variablen Koeffizieneten löst man das Gleichungssystem
$y_1'' +c_1 y_1'+c_2y_1=0$
$y_2'' +c_1 y_2'+c_2y_2=0$
(hier: $y_1=\cos x$ und $y_2=e^x$)
nach den unbekannten Koeffizientenfunktionen $c_1$ und $c_2$ auf und hat die Dgl.
Wally
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gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4878
Wohnort: Harz
| Beitrag No.6, eingetragen 2014-12-21
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Ah wunderbar :) Danke für die schnelle Aufklärung.
gonz
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