| |
| Autor |
  Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen |
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
 |  Themenstart: 2014-12-29
|
Hallo
Ich habe diese Differentialgleichung zu lösen:
f(x):=-x(t)/sqrt(1+abs(x(t))^2)=x^**(t)
Gut ich kann daraus natürlich ein System erster Ordnung machen:
(I):
x^*_1=x_2
x^*_2=f(x_1)
Substitutionen wie u(t)=abs(x(t)), u(t)=abs(x(t))^2 oder u(t)=1+abs(x(t))^2 bringen mich nicht weiter.
Es ist das Funktional L(x,x^*)=-sqrt(1+abs(x)^2)+abs(x^*)^2/2 gegeben. Es soll die Euler-Lagrange Equation berechnet werden. Mein Ergebnis ist
f(x)=x^** wie oben. Nun brauche ich die Hamilton'sche Abbildung und das Hamilton'sche System.
Die Hamilton'sche Abbildung ist doch genau die Lösung x_1(t), die (I) erfüllt.
Weiss jemand, wie das zu berechnen ist?
|
 Profil
|
gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-29
|
Hallo Retzengrahl,
\
die DGL die du anfangs gegeben hast kannst du mit dem "Energie-Ansatz" gut knacken. Du erweiterst mit x^* und kannst dann beide Seiten Integrieren. Das geht insbesondere recht einfach, da in
f(x)=x/sqrt(1+x^2)
die innere Ableitung der Wurzel (bis auf einen Faktor) bereits über dem Bruchstrich steht.
Kommst du damit weiter?
|
Profil
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-30
|
Danke Gonz
Also beide Seiten integrieren ergibt:
x^*=-sqrt(1+abs(x)^2)
Sei C \in \IR
arcsinh(x)=int(1/sqrt(1+x^2),x,)=t+C
also kriege ich:
x(t)=sinh(t+C) mit C \in \IR.
Warum darf ich einfach abs(x)^2=x^2 annehmen? Dann müsste ich ja wissen, dass x(t) reellwertig ist?
Ist die Hamiltonsche Abbildung nun x(t)=sinh(t+C) ?
Wie berechne ich das Hamiltonsche System? Ist es gegeben durch:
pdiff(x^*(t),t)=-pdiff(L(x(t), x^*(t)),x(t))
pdiff(x(t),t)=pdiff(L(x(t),x^*(t)),x^*(t))
Grüsse
|
Profil
|
gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
| Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-30
|
Hallo retzengrahl,
ich war zu optimistisch, was eine Lösung angeht (ich hatte auch angenommen, dass es sich um eine realwertige Funktion handelt, wenn das so nicht ist, dann kann man natürlich nicht |x|^2 = x^2 setzen).
Im folgenden ist mir das Minuszeichen verloren
gegangen, dies bitte sinngemäß zu ergänzen
\
Es ergibt sich jedenfalls nach Erweiterung mit x^*
(x^* x)/sqrt(1+x^2) = x^* x^**
und nach Integration
sqrt(1+x^2) + C = 1/2 (x^*)^2
x^*=sqrt(C^~ + 2 sqrt(1+x^2))
mit C^~=2C
Was dann in Folge auf ein nicht mehr geschlossen lösbares Integral führt. Aber es gibt vielleicht andere Wege, da weiterzukommen, allerdings kann ich dir an dem Punkt auch nicht mehr weiter helfen.
Grüsse
und einen schönen Abend / einen guten Rutsch
gonz
|
Profil
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-31
|
Hallo Gonz
Aber unter der Annahme, dass
abs(x)^2 = x^2
also die Funktion reellwertig ist, ist dann meine Lösung so korrekt?
|
Profil
|
gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
| Beitrag No.5, eingetragen 2014-12-31
|
Hallo Retzengrehl,
nein eben nicht das versuchte ich dir zu erläutern. Bevor du die DGL integrieren kannst, musst du mit der ersten Ableitung von x multiplizieren, denn du benötigst sie auf der Seite, auf der die Funktion von x steht, als innere Ableitung.
Der Energieansatz funktioniert doch insgesamt so:
\
x^** = f(x)
x^* x^** = x^* f(x)
Wenn man eine Stammfunktion von f kennt, dann
kann man hier integrieren:
1/2 (x^*)^2 = F(x) + C
und damit kommt man auf eine DGL erster Ordnung,
die man mit "Trennung der Variablen" bearbeiten kann:
1/sqrt(2) x^*/sqrt(F(x)+C)=1
Und hier hängt es eben davon ab, ob man die sich
durch die Wurzel im Nenner ergebende Funktion
auch noch integrieren kann - was in diesem Fall
m.M.n nicht geschlossen geht
Mit besten Grüsse
gonz
|
Profil
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-01
|
Danke Gonz. Ich verstehe deine Vorgehensweise aber warum geht meine nicht.
Abgesehen von der Erweiterung mit x^*: Meine Überlegung ist folgende:
-x(t)/sqrt(1+x(t)^2)=x^**(t)
Dann integriere ich einfach beide Seiten nach x und bekomme
-sqrt(1+x(t)^2)+C=x^*(t) wobei C \in \IR .
Warum ist das jetzt falsch?
|
Profil
|
gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
| Beitrag No.7, eingetragen 2015-01-01
|
Hallo retzengrahl,
willst du dein Ergebnis, also die letzte Zeile aus Post #6
überprüfen, leitest du das Ganze ja nach t (und nicht nach x!)
ab.
Dazu musst du auf der linken Seite die Kettenregel mehrfach
anwenden, und zwar am Ende auch auf die Funktion x(t) selbst.
Korrekterweise leitest du also in folgenden Schritten ab:
\
Äussere Funktion die Wurzel, innere Funktion 1+x^2
dann:
äussere Funktion 1+x^2, innere Funktion: x(t)
und beim letzten Schritt erscheint eben ein x^* als innere
Ableitung. Damit erhältst du, wenn du dein Ergebnis ableitest:
h(t) = sqrt(1+x(t)^2)
h'(t) = x^* * 2x * 1/(2*sqrt(1+x^2)) = (x^* x) / sqrt(1+x^2)
Das heisst es ergibt sich ein Faktor x^*, den du auf der
rechten Seite nach deinem Vorgehen nicht erhältst, dh die
Gleichung stimmt einfach nicht.
Deshalb ist es auch nicht möglich, ohne das Multiplizieren
mit x^* die Gleichung einfach so zu integrieren bzw. durch
Anwenden des "Tricks" der Erweiterung mit x^* beim Energieansatz
erhält man genau das wieder heraus, was da fehlt, und
muss dann allerdings auf der rechten Seite eben auch
x^* x^** integrieren, was jedoch praktischerweise
das 1/2 (x^*)^2 ergibt.
Hilft dir das weiter? Sonst bitte einfach nochmal nachfragen!
Grüsse
und noch einen schönen Neujahrstag
gonz
|
Profil
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-02
|
Danke Gonz.
Das habe ich jetzt verstanden, du hast Recht. Ich bin also auch bei
x^*(t)=sqrt(2C-2 sqrt(1+x(t)^2))
Soweit so gut... aber wie mache ich weiter?
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.9, eingetragen 2015-01-02
|
\quoteon
aber wie mache ich weiter?
\quoteoff
Gar nicht mehr. Diese Dgl. hat keine elementare Lösung (jedenfalls findet Maple keine).
Willst du das denn wirklich explizit lösen oder "nur" Eigenschaften der Lösung ermitteln?
Wally
|
Profil
|
retzengrahl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.09.2010
Mitteilungen: 452
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-02
|
\senkrechtauf\ \senkrechtauf\ \senkrechtauf\ \senkrechtauf\
Betrachte L: \IR^n \cross\ \IR^n -> \IR
L(x(t),x^*(t))=- sqrt(1+abs(x(t))^2)+abs(x^*(t))^2/2
(Für Physiker: x^*(t) ~= v(t))
a) Schreibe die Euler-Lagrange-Gleichung für
G(x) = int(L(x(t),x^*(t)),t,a,b)
b) Berechne die Hamilt. Abb.
c) Schreibe das Hamilt. System
d) Sind die max. Lösungen \forall\ t \el\ \IR definiert?
\senkrechtauf\ \senkrechtauf\ \senkrechtauf\ \senkrechtauf\
Also bei a) habe ich:
L_(x(t))(x(t),x^*(t))=-x(t)/sqrt(1+abs(q)^2)
L_(x^*(t))=x^*(t)
daraus ergibt sich soweit ich das sehe
\partial_t L_(x^*)(x,x^*)=L_x(x,x^*) also
x^**(t)=-x(t)/sqrt(1+abs(x(t))^2)
Das ist dann mein a). Wie gehts bei b) weiter? Muss man dazu nicht die Lösung berechnen?
|
Profil
|
retzengrahl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
retzengrahl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
