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  lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten |
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gleichungssystem
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.01.2015
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2015-01-19
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Guten Tag
Habe bei der folgenden Aufgabe so meine liebe Mühe:
Bestimmen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten niedrigster Ordnung, welche die Lösungen
$y_1(x) = x*cos(3x) + e^{-x}$ und $y_2(x) = x*cos(3x)- 2x*sin(3x) + e^{-2x} + e^{-x}$
besitzt.
Um die homogene Lösung zu bestimmen subtrahiere ich die beiden Lösungen und erhalte:
$y_1-y_2=y_h := 2x*sin(3x)-e^{-2x}$
Damit erhalte ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
$NS: p(\lambda)= -2 ~(einfache~ NS);~ \pm 3i~(dopplete~NS)$
Somit lautet das charakteristische Polynom:
$p(\lambda)=\lambda^5+2\lambda^4+18\lambda^3+36\lambda^2+81\lambda+162$
Soweit ist alles klar.
Wie kann ich nun die partikuläre Lösung $y_p(x)$ bestimmen?
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pindakaas
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.02.2012
Mitteilungen: 593
|  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-19
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Hallo und willkommen auf dem mp,
ich weiß zwar nicht ob ich dir bis zum Ende helfen kann aber, da die Aufgabe mich interessiert frag ich trotzdem mal nach.
Du sollst doch hier eine Differentialgleichung bestimmen oder? Wieso suchst du dann nach Lösungen?
Und zu dem char. Polynom, ich bin mir nicht sicher wie du darauf gekommen bist, aber wenn du zwei Lösungen hast muss die DGL auch zweiter Ordnung sein, da sie inhomogen ist brauchst du für eine DGL erster Ordung schon zwei Lösungen, also kann eine Polynom fünfter Ordung nicht stimmen. Das würde eine homogene DGL fünfter Ordnung bedeuten.
Zudem steht im Aufgabentext niedrigster Ordnung, was meinen Verdacht auf erste Ordnung nochmal untermauert.
Da ich solche Aufgaben noch nie gesehen habe würde ich mich aber dafür interessieren wie du auf deine Lösungsstrategie kommst. Ich hoffe ich konnte dir wenigstens ein bisschen helfen.
Beste Grüße, pindakaas.
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-19
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Hallo und herzlich willkommen, gleichungssystem,
deine Strategie ist genau richtig: das charakteristische Polynom ist
$(\lambda-2)(\lambda^2+9)^2$ (ich habe nicht nachgerechnet. ob das ausmultipliziert dein Ergebnis gibt).
Der Rest ist viel einfacher als du denkst :)
Beispiel: schon berechnet ist die homogene Dgl. $y'+2y=0$.
Wie lautet die Inhomogenität $f(x)$, so dass $y_p=e^{3x}$ Lösung von $y'+2y=f(x)$ ist?
Dann setzt man das doch in die Dgl. ein, und erhält $f(x)=5e^{3x}$.
Wally
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gleichungssystem
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.01.2015
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-19
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Genau ich suche die Differentialgleichung. Jedoch sind nur zwei Lösungen dieser gesuchten Differentialgleichung gegeben. Wenn ich die homogene Lösung und die partikuläre Lösung finde, kann ich mir diese gesuchte Differentialgleichung "zurechtkonstruieren". Durch die homogene Lösung erhalte ich das char. Polynom, mit der partikulären Lösung sollte doch der inhomogene Anteil $b(x)$ zu berechnen sein. Die beiden gegebenen Lösungen $y_1(x)~und~y_2(x)$ sind ja eine superponierung der homogenen und der partikulären Lösung der gesuchten Differentialgleichung.
Die partikuläre Lösung sollte bei beiden gegebenen Lösungen identisch sein oder?
Wenn ich nun die zwei Lösungen meiner gesuchten Differentialgleichung subtrahiere sollte ja die homogene Lösung als Resultat enstehen?
Das charakteristische Polynom bekomme ich folgendermassen:
$y_h(x)= y_2(x)-y_1(x):= 2x*sin(3x)-e^{-2x}$
Durch diese homogene Lösung kann ich die Nullstellen des char. Polynoms bestimmen:
$2x*sin(3x) $ liefert mir die komplex-konjugierte und doppelte Nullstelle $\pm3i$
(Umgekehrt liefert die Nullstelle $\pm3i$ die Lösungen $C_1* e^{\alpha x} *cos(\beta x) ;C_2*e^{\alpha x} *sin(\beta x) $)
Dadurch kann ich Rückschlüsse auf die Nullstellen in meinem char. Polynom machen.
Das $2x$ vor $sin(3x)$ sag mir das die Nullstelle doppelt vorhanden ist.
$e^{2x}$ liefert mir die reelle und einfache Nullstelle $-2$
Damit berechne ich das char. Polynom:
$p(\lambda)=(\lambda+2)*(\lambda-3i)^2*(\lambda+3i)^2$
...
$p(\lambda)= \lambda^5+2\lambda^4+18\lambda^3+36\lambda^2+81\lambda+162$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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gleichungssystem
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Dabei seit: 19.01.2015
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-19
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Hallo Wally
Da haben wir uns etwas überschnitten:)
Kann ich somit sagen, dass die partikuläre Lösung meiner DGL einfach die identischen Terme der beiden Lösungen sind?
Also:
$y_p(x)=e^{-x}+x*cos(3x)$?
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-01-19
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Nicht ganz.
Die Dgl. $y''+y=1$ hat die Lösungen $y_1(x)=\sin x +1$ und $y_2(x)=\sin x +2\cos x+1$
Denk jetzt noch mal nach.
Wally
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gleichungssystem
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Dabei seit: 19.01.2015
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-19
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Eigentlich müsste ja $x*cos(3x)$ auch eine Lösung der homogenen Lösung sein, oder? Da die Nullstelle $\pm 3i$ diesen Term auch "liefert".
Oder wie in deinem Beispiel $sin(x)$ auch bereits in der homogenen Lösung vorhanden ist.
Dadurch wäre $y_p(x)=e^{-x}$
Und somit die Inhomogenität $b(x)=C_1*e^{-x}$ mit $C_1 =1/p(-1)$
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
|  Beitrag No.7, eingetragen 2015-01-19
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So isses, wie man in Dortmund sagt.
Wally
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gleichungssystem
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Dabei seit: 19.01.2015
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-19
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Somit ist alles klar.
Vielen Dank für die schnellen Antworten:)
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