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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz einer holomorphen Funktion
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Universität/Hochschule Existenz einer holomorphen Funktion
Lysis
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  Themenstart: 2015-01-19

Gibt es eine holomorphe Funktion f:\IC->\IC mit f(k)=k/(k+1) \forall\ k\el\ \IN_>0. Bei der vorherigen Aufgabe wurde f(1/k) = k/(k+1) betrachtet und ich konnte, da 0 ein Häufungspunkt mit g: \IC {-1} -> \IC ,z-> 1/(1+z) usw. ... über den Identitätssatz argumentieren. Wie sieht es nun aus? Auf der betrachteten Menge gibt es ja keinen Häufungspunkt. Könnte ich dennoch irgendwie mit g: \IC \{-1} -> \IC , z-> z/(z+1) irgendwas anfangen? Oder sollte man die Aufgabe über einen anderen Weg machen? Wäre dankbar für Hilfe Lysis


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Lysis
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-20

Ist die Fragestellung undeutig oder ist das problem zu trivial?


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-20

\quoteon(2015-01-20 17:54 - Lysis in Beitrag No. 1) Ist die Fragestellung undeutig oder ist das problem zu trivial? \quoteoff Hi Lysis, nein, trivial ist es nicht, aber Fragen dieses Typs waren schon öfter im Forum. Du hast das Stichwort "Identitätssatz" genannt, es ist ein geeigneter Suchbegriff für die Forumsuche. //EDIT: Beim genaueren Lesen der Frage erweist sich jedoch, dass der Identitätssatz hier nicht brauchbar ist. Gruß Buri


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Lysis
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-20

Danke für deine Antwort Buri. Ich habe natürlich selbst schon gesucht und mir viele Beiträge angesehen. Doch bei den bisherigen Aufgaben ist man einem gewissen Schema gefolgt. So habe ich auch meine bisherigen aufgaben gelöst. Bei dieser gibt es jedoch keinen Häufung spunkt und das gewöhnliche Verfahren versagt. Somit wäre ich über einen Hinweis sehr dankbar. Lysis


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Buri
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  Beitrag No.4, eingetragen 2015-01-20

\quoteon(2015-01-20 19:57 - Lysis in Beitrag No. 3) ... gibt es jedoch keinen Häufung spunkt und das gewöhnliche Verfahren versagt. \quoteoff Hi Lysis, stimmt, das habe ich übersehen, weil mir auf den ersten Blick nur die Formel f(1/k) = ... von der vorigen Aufgabe aufgefallen war. Hier kann man den Identitätssatz nicht anwenden, und das kann auch gar nicht sein, weil die Aufgabe unendlich viele Lösungen hat, wenn sie überhaupt eine hat. Die Aufgabe ist somit von einer anderen Art. Betrachte die ganze Funktion h(z) = (z+1) f(z) - z. Sie muss bei z=1,2,3,... Nullstellen haben, und bei z = -1 gleich 1 sein. Umgekehrt, wenn man solch eine ganze Funktion h hat, kann man daraus f berechnen, und dieses f ist dann auch ganz, weil die Definitionslücke bei z = -1 hebbar ist und nach der Bernoulli-l'Hospitalschen Regel den Grenzwert f(-1) = h'(-1) + 1 ergibt. Beim Suchen nach solch einem h denke an die Gammafunktion. Gruß Buri


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Lysis
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-20

Danke für den guten Tipp. Leider sehe ich nicht, wie die Gammafunktion das gewünschte erfüllen soll. Kann ich nicht einfach eine andere ganze Funktion nehmen, die es erfüllt? z -> z^2 * ((abs(z) - z) /2) , welche eingeschränkte auf \IC ohne menge(0) holomorph ist und obiges erfüllt?


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2015-01-20

\quoteon(2015-01-20 21:12 - Lysis in Beitrag No. 5) Kann ich nicht einfach eine andere ganze Funktion nehmen, die es erfüllt? \quoteoff Hi Lysis, natürlich, hast du eine? Mit deinem Vorschlag klappt es nicht, der Betrag zerstört die Holomorphie. Ich habe keine bessere Idee, als den Kehrwert 1/Γ(z) der Gammafunktion zu nehmen, passend verschoben natürlich, denn dies ist bekanntlich eine ganze Funktion, weil die Gammafunktion selbst keine Nullstellen hat. Gruß Buri


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Lysis
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-20

Nungut, Setzen wir also h(z) =1 / ( \Gamma(z+2) ) - 1/ (z+2)! wird das gewünschte erfüllt. f(z) = ((1 / ( \Gamma(z+2) ) - 1/ (z+2)!) + z) / (z+1) ist dann eine ganze Funktion und erfüllt die Vorraussetzung. Sicherlich ist es nicht die mobilste Lösung. Dennoch gibt es bestimmt eine elegantere Möglichkeit, da zumal die Gamma-Funktion in dieser Veranstaltung nicht genannt wurde. Vielen Dank für deine Hilfe Buri! Lysis


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Buri
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  Beitrag No.8, eingetragen 2015-01-20

\quoteon(2015-01-20 21:37 - Lysis in Beitrag No. 7) Setzen wir also ... \quoteoff Hi Lysis, was willst du hier mit der Fakultät machen? Fakultät und Gammafunktion ist doch fast dasselbe, denn z! = Γ(z+1). Wenn man die Fakultät überhaupt für nicht natürliche Zahlen definiert, dann so. Eine geeignete Funktion h ist h(z)=1/\G(-z), schau hier. Mir ist aber noch etwas Besseres eingefallen, du kannst h(z)=sin(\p(z+1))/(z+1) nehmen. Gruß Buri


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Lysis
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-20

Ich habe die Gammafunktion nur für z>0 kennen gelernt, deshalb kam mir das ganze komisch vor. Um es abzuschließen ... ((1/ (\Gamma (-z) )+ z) / (z+1)) ist eine ganze Funktion, die die Vorraussetzung erfüllt. Die Definitionslücke -1 sind hebbar, was noch gezeigt werden muss.


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