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  Aussagenlogik |
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Docker1
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 |  Themenstart: 2002-10-17
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Hi hab so meine Probs mit Mengen...........
Und zwar soll ich zeigen das M1 \ (M2 ÈM3)= (M1 \ M2) \M3.
Mir ist zwar klar das \ alle Elemente von M1 sind die nicht in (M2 È M3) sind aber ich hab keinen Schimmer wie ich das zeigen soll.............
Für Hilfe wäre ich dankbar..........
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daHeile
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-17
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Hallo!
Hier mal die StandardIdee:
Wenn du MengenGleichheit zeigen willst,
dann musst du immer 2 Richtungen zeigen:
1.) Nimm ein beliebiges Element aus der
einen Menge und zeige, dass es auch in
der anderen Menge ist.
2.) und umgekehrt.
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Docker1
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Ja na ich kann ja die Klammer so setzen auf der rechten Seite das
M1 \ (M2 \M3), bloß ich muß dann ja noch die Äquivalenz zeigen von
(M2\M3)~(M2 ÈM3)....
Dazu fällt mir nichts ein.......
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Docker1
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Bzw. wenn das \ gleichwertig mit È wäre
dann ist es ja ~ bloß mir ist nicht klar welchen Stellenwert das Zeichen \
hat zwischen ÇÈÙÚ ?
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daHeile
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-10-17
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Hallo!
Wir sind uns aber schon einig, dass
(M2\M3) und (M2 È M3) nicht das gleiche ist!?
Und dass auch (M1 \ M2) \ M3
nicht das gleiche wie M1 \ (M2 \ M3) ist!?
"\" heisst: "ohne" oder auch "minus"
Ich mach mal eine Richtung:
Sei x aus (M1 \ M2) \ M3
Also ist
1.1) x in M1\M2 und
1.2) x nicht in M3
aus 1.1) folgt:
1.1.1) x ist in M1 und
1.1.2) x ist nicht in M2
Aus 1.2) und 1.1.2 folgt:
1.3) x ist nicht in M2ÈM3
Aus 1.3) und 1.1.1) folgt die Behauptung:
x ist auch in M1\(M2ÈM3)
Es verbleibt zu zeigen:
Wenn x aus M1\(M2vM3) ist,
dann ist x auch aus (M1 \ M2) \ M3
Gruß,
daHeile
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Docker1
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Hab mich nochmal mit beschäftigt, hab mir Zahlenbeispiele gemacht und anschließend Terme eingesetzt. Bin zu folgenden Ergebnis gekommen......
Beweisen Sie für Mengen über denselben Grundbereich G.:
M1 \ (M2 ÈM3)= (M1 \ M2) \M3
M1 = x M2 = y M3 = z
M1 M2 M3 (M2 È M3) M1 \ (M2 È M3) (M1 \ M2) (M1 \ M2) \M3
x y z y,z x x x
Die Wertetabelle liefert x=x und damit eine wahre Aussage.(ist das in dem Sinn überhaupt eine Aussage????)
Liege ich damit richtig???
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-10-17 17:11 ]
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Docker1
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Och mit Tabelle ist nichts na dann poste ich es gleich nochmal anders..
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Docker1
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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M1 \ (M2(vereinigt) M3)= (M1 \ M2) \M3
M1=x M2=y M3= z
M2 ÈM3 = yz
M1\ (M2ÈM3)=x
M1\M2=x
(M1\M2)\M3=x
x=x wahre Aussage(???)
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-10-17 17:17 ]
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daHeile
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-10-17
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Hallo!
Wenn du schreibst "M1=x", dann ist x eine Menge.
Und Schreibweisen, wie "xy" machen keinen Sinn.
Wenn du meinst: M1 hat als einziges Element x,
dann schreibt man: M1 = {x}
Wenn du es so meinst, dann hast du dir ein
Beispiel ausgedacht, und für dieses eine einzige
Beispiel die Gleichheit gezeigt. Das reicht natürlich nicht.
Du sollst die Gleichheit nämlich für ALLE nur erdenklichen
Beispiele zeigen.
Insbesondere natürlich für Mengen, die sich auch
überschneiden, also gleiche Elemente besitzen.
Ich male dir eine Grafik, was zu zeigen ist.
Ist die Grafik klar? Es gilt z.B. folgendes:
M1,M2,M3 sind kreisrund Flächen.
M1: blaue, grüne, lila und helle Fläche.
M2: rote, lila, helle und orange Fläche.
M1\M2: blaue und lila Fläche.
M2vM3: alles bis auf gelbe Fläche.
(M1\M2)\M3: blaue Fläche.
Zum Beweis schreib ich später noch mal.
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Docker1
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|  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Hallo,
Ist nicht M2 È M3 alles bis auf blaue Fläche. Wenn dann nämlich M1 (blaue Fläche) mit der Vereinigung subtrahiert wird, bleibt die blaue Fläche übrig. Wenn dann noch (M1\M2)
subtrahiert wird, bleibt blau und lila übrig. Anschließend (M1\M2)\M3 bleibt auch blau übrig.
Aber danke für die Grafik sie zeigt das sehr gut!
:-)
Freu mich auf den Beweis.
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daHeile
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| Beitrag No.10, eingetragen 2002-10-17
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Erst mal: ja du hattest recht: die gesuchte Fläche ist die blaue Fläche.
Nun zum Beweis der Gleichheit
Es ist zu zeigen: M1 \ (M2 È M3) = (M1 \ M2) \M3
Dazu zeigen wir
(A) M1 \ (M2 È M3) Í (M1 \ M2) \M3
(also linke Seite ist "kleiner gleich" rechte Seite) und
(B) M1 \ (M2 È M3) Ê (M1 \ M2) \M3
(also linke Seite ist "größer gleich" rechte Seite)
Beweis von (A)
Sei x ein BELIEBIGES Element aus M1 \ (M2 È M3)
Wir werden zeigen: Dann ist x auch aus (M1 \ M2) \ M3
Also nochmal: Es gilt:
(1) x Î M1 \ (M2 È M3)
Daraus folgt aber sofort:
(2) x Î M1 und
(3) x Ï (M2 È M3)
Aus (3) folgt aber sofort
(4) x Ï M2 und
(5) x Ï M3
Aus (2) und (4) folgt:
(6) x Î M1 \ M2
Aus (6) und (5) folgt schon die Behauptung A:
x Î (M1\M2)\M3
Zum Beweis von (B) siehe ein Posting irgendwo weiter oben.
Da (A) und (B) beide wahr sind, muss Gleichheit gelten.
Bei Unklarheiten, noch mal nachfragen.
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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:-o :-o :-o :-o
DER ABSOLUTE WAHNSINNNNNNNNN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
DANKE!!!!!!!!!!!
JETZT seh ich endlich mal klare Bilder bei der Aufgabe. Der Beweis
ist ja total simpel und leicht verständlich. DANKE! :-)
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Docker1
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Und die Gleichheit resultiert daraus weil für beide Seiten gilt:
x Î M1 und xÏM2 und xÏ M3 ????
Für welche Fälle wird linke Seite Ê rechte Seite ???
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Docker1
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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z.B.
wenn xÎM1, xÏM2, xÏM3 ÍxÎM1, xÎM2, xÎM3 steht???
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daHeile
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| Beitrag No.14, eingetragen 2002-10-17
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Und die Gleichheit resultiert daraus weil für beide Seiten gilt:
x Î M1 und xÏ M2 und x Ï M3 ????
Du musst schreiben, was du mit x meinst.
du kannst es so formulieren:
Wenn x aus M1\(M2ÈM3), dann x Î M1 und xÏM2 und x Ï M3
Wenn x aus (M1\M2)\M3, dann x Î M1 und xÏM2 und x Ï M3
Also Gleichheit.
Für welche Fälle wird linke Seite Ê rechte Seite ???
Hier bei dieser Aufgabe gilt nie "É".
Es gilt immer "=". Also gilt natürlich auch immer "Ê".
Í heisst: "Ì oder "=".
Ähnlich ist es doch bei £, < und =
wenn x Î M1, x Ï M2, x Ï M3 Í x Î M1, x Î M2, x Î M3 steht???
Links und rechts von "Í" muss eine Menge stehen. Du meinst wahrscheinlich:
(M1\M2)\M3 Í (M1ÇM2ÇM3)
Das ist natürlch falsch.
Schau dir mal die Grafik weiter oben noch mal an.
[ Nachricht wurde editiert von daHeile am 2002-10-17 22:37 ]
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|  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-17
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Ich meine mit meinem Beispiel nicht diese konkrete Aufgabe sondern eine
beliebige Aussageform für die diese Ungleichheit erfüllt ist.
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