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| Autor |
 Ebenenabstand und Intensität von Reflexen |
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waltherwhite
Neu 
Dabei seit: 08.11.2014
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2015-03-16
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung
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Betrachten Sie ein einfach kubisches Gitter der Gitterkonstante \(a = 0,5~\text{nm}\). Die Basis sei zweiatomig, wobei identische Atome an den Orten \(\vec{r}_{1} = \left(0,0,0\right)\) und \(\vec{r}_{2} = \left(da,0,0\right)\) vorliegen. Zur Strukturaufklärung setzen Sie Röntgenbeugung ein und bestimmen die Intensitäten der Reflexe für verschiedene Miller-Indizes \((hkl)\).
\begin{enumerate}
\item Sie beobachten die Reflexe \((100)\), \((200)\) und \((300)\), nicht aber den Reflex \((400)\). Geben Sie einen Wert für den Abstand \(d\) an, der mit dieser Beobachtung im Einklang steht.
\item Berechnen Sie nun die Intensität des \((300)\)-Reflexes relativ zur Intensität des \((100)\)-Reflexes. Nehmen Sie hierzu \(T=0~\text{K}\) an.
\end{enumerate}
$
Also zu 1. habe ich leider nur die Idee mit dem Ebenenabstand
$d = \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$
zu argumentieren und daraus dann d zu bestimmen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das der richtige Ansatz ist.
Bei 2. würde ich den Debye-Waller-Faktor ansetzen.
$I_{hkl} = I_{0}\exp\left(-\frac{kT}{M\omega^{2}}G^{2}\right)$
Wobei $G = \vec{b}_{1}h + \vec{b}_{2}k + \vec{b}_{3}l$. Die reziproken Gittervektoren sind ja leicht zu bestimmen. Allerdings Würde bei $T = 0~\text{K}$ der Faktor in der e-Funktion ja verschwinden.
Ich freue mich auf eure Anregungen ;-)
Beste Grüße
ww
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Dabei seit: 13.11.2003
Mitteilungen: 3299
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-03-16
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\quoteon(2015-03-16 08:43 - waltherwhite im Themenstart)
Also zu 1. habe ich leider nur die Idee mit dem Ebenenabstand
$d = \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$
zu argumentieren und daraus dann d zu bestimmen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das der richtige Ansatz ist.
\quoteoff
Wenn d einfach nur ein Faktor sein soll, dann wird er nicht direkt was mit dem Ebenenabstand zu tun haben.
Der Debye-Waller-Faktor wird hier, wie du selber erkannt hast, nicht funktionieren. In diesem Fall gilt eine andere, einfachere Abhängigkeit. Kennst du schon den Struktur- und Atomfaktor?
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waltherwhite
Neu
Dabei seit: 08.11.2014
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-17
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Hi,
hab mir mal Gedanken zu 1. und 2. gemacht. Der Strukturfaktor lautet
\begin{equation}
S_{hkl} = \sum_{j} f_{j}e^{-i\vec{G}\vec{r}_{j}}
\end{equation}
Dabei muss man \(S_{hkl}^{sc} = 1\) beachten. Der Strukturfaktor der Basis lautet
\begin{align*}
S_{hkl}^{\text{Basis}} &= f\left(1+e^{-2\pi i\cdot d\cdot h}\right) = f\left(1+ \cos\left(2\pi d\cdot h\right)\right)\\
\end{align*}
Das ist dann gleichzeitig auch der gesamte Strukturfaktor. Daraus wollte ich jetzt den Faktor \(d\) bestimmen.
\begin{align*}
S_{400} &= 0\\
\cos\left(2\pi d\cdot 4\right) &= - 1\\
d &= \frac{1}{8}
\end{align*}
Mit diesem Wert für \(d\) lautet der Strukturfaktor dann
\begin{equation}
S_{hkl} = f\left(1+ \cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot h\right)\right).
\end{equation}
Zu 2. dachte ich mir folgendes. Die Intensität hängt mit dem Strukturfaktor ja wie folgt zusammen
\begin{equation}
I = \left|S_{hkl}\right|^{2}.
\end{equation}
Damit hat man dann
\begin{align*}
\frac{I_{300}}{I_{100}} &= \frac{\left|S_{300}\right|^{2}}{\left|S_{100}\right|^{2}}\\
&= \frac{\left|f\left(1+\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)\right)\right|^{2}}{\left|f\left(1+\cos\left(\frac{1}{4}\pi\right)\right)\right|^{2}}\\
&= \left|\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right|^{2}\\
&= \left|3-2\sqrt{2}\right|^{2}\\
&= 17-12\sqrt{2}
\end{align*}
$
Würde mich freuen, wenn Du mal nen Blick drüberwirfst und mir schreibst, was Du davon hälst.
Beste Grüße
ww
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