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Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » Die einfachste Verbindung Fermat / Pythagoras
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Universität/Hochschule Die einfachste Verbindung Fermat / Pythagoras
nosapa
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  Themenstart: 2015-06-02

Hallo liebe Planetarier, folgende Identität möchte ich vorstellen: +4(x^3+y^3+z^3)(x-y-z)= +[2x^2+2x(y+z)+4(y^2+z^2)-4yz]^2 +[1x^2-3x(y+z)-4(y^2+z^2)+1yz]^2 -[1x^2+3x(y+z)+6(y^2+z^2)-3yz]^2 Mit der Absicht den Verdacht von slash zu beweisen (Ganzzahlige Lösung x^3+y^3+z^3=33) bin ich am Wochenende auf diese Identität gestoßen. Grüße nosapa Es ist nicht üblich eine 1 vor einem Monom zu schreiben, aber so ist die Symmetrie erhalten.


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nosapa
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-15

Hallo, es gibt noch eine Verbindung zwischen dem Fermats grosser Satzfür n=5 und dem Pythagorassatz. Diese Identität ist etwas umfangreicher. Ich kann keinen Fehler finden. (+x^5+y^5+z^5)* (+4x^3 y^2+8x^3 y^1 z^1+4x^3 z^2-4x^2 y^3-12x^2 y^2 z^1-12x^2 y^1 z^2-4x^2 z^3+4x^1 y^4+12x^1 y^3 z^1+16x^1 y^2 z^2+12x^1 y^1 z^3+4x^1 z^4-4y^5 -12y^4 z^1-16y^3 z^2-16y^2 z^3-12y^1 z^4-4z^5) = (-2x^4 y^1-2x^4 z^1+2x^3 y^2+2x^3 z^2-2x^2 y^3-2x^2 z^3-2x^1 y^4-4x^1 y^3 z^1-4x^1 y^2 z^2-4x^1 y^1 z^3 -2x^1 z^4-4y^5-4z^5)^2 + (+1x^4 y^1+1x^4 z^1-3x^3 y^1 z^1+2x^2 y^2 z^1+2x^2 y^1 z^2-3x^1 y^4-5x^1 y^3 z^1-4x^1 y^2 z^2-5x^1 y^1 z^3-3x^1 z^4-4y^5-3y^4 z^1-4y^3 z^2-4y^2 z^3-3y^1 z^4-4z^5 )^2 - (+1x^4 y^1+1x^4 z^1-2x^3 y^2+1x^3 y^1 z^1-2x^3 z^2 +2x^2 y^3+2x^2 z^3+3x^1 y^4+5x^1 y^3 z^1+4x^1 y^2 z^2+5x^1 y^1 z^3+3x^1 z^4+6y^5+3y^4 z^1+4y^3 z^2+4y^2 z^3+3y^1 z^4+6z^5)^2


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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-18

\ Hallo, ich bin zufällig (bedingt durch einen Geburtstagsgruß an dich auf den letzten Satz von Fermat: a^n+b^n=c^n gestoßen. Jedem bekannt, für n=2 existieren Lösungen, für n=3 nicht. Dazu die folgenden Gedanken: a^2+b^2=c^2 => c^2-a^2=b^2 => (c+a)*(c-a)=b^2 erweitert mit (c+a) => (c^2-a^2)*(c+a)=b^2*(a+c) und c^3-a^3+c^2*a-a^2*c=b^2*(a+c) es folgt c^3-a^3=b^2*(a+c)+a^2*c-c^2*a => es muss für eine Lösung mit n=3 gelten: c^3-a^3=b^3=b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] => b muss die Bedingung erfüllen: b=[a+c+(a^2*c-c^2*a)] Ob es irgendwie hilfreich verwendet werden kann weiß ich nicht. Beste Grüße SemiPrim4711


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weird
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-18

@SemiPrim4711 Unabhängig davon, ob deine letzte Gleichung $b=a+c+\frac{a^2c-ac^2}{b^2}$ jetzt hilfreich ist oder nicht, ist es doch so, dass zu ihrer Herleitung sowohl $a^2+b^2=c^2$ als auch $a^3+b^3=c^3$ verwendest. Fermat hatte aber behauptet (und es hat auch schon Euler im Wesentlichen gezeigt, dass dies stimmt!), dass die Gleichung $a^3+b^3=c^3$ allein schon nicht in positiven ganzen Zahlen $a,b,c$ lösbar ist, eine Behauptung, die also nicht mit deiner ident, sondern weit stärker ist.


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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-18

\ Hallo weird, danke für die tieferen Einblicke. Ich selbst habe kein Wissen darüber wer was wann schon bewiesen hat. Weiß aber dass es einen Beweis gibt der sehr kompliziert ist und ich den sowieso nicht verstehen würde. Mit c>a und c>b kann ich hiermit schnell sehen dass keine Lösung für n=3 existiern kann. Denn selbst für a=2 und c=3 funktioniert es nicht und mit a=3 und c=4 ist b schon -5. \ b=[a+c+(a^2*c-c^2*a)] b=[2+3+(2^2*3-3^2*2)]=-1 Beste Grüße SemiPrim4711


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weird
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-18

\quoteon(2019-01-18 19:39 - SemiPrim4711 in Beitrag No. 4) \ Ich selbst habe kein Wissen darüber wer was wann schon bewiesen hat. Weiß aber dass es einen Beweis gibt der sehr kompliziert ist und ich den sowieso nicht verstehen würde. \quoteoff Ne, da verwechselst du etwas, der Eulersche Beweis für die Hochzahl $n=3$, von dem ich oben gesprochen hatte, ist nicht sehr lang (vielleicht eine halbe Seite) und man kann ihn durchaus noch mit relativ elementaren Kenntnissen aus der Algebra nachvollziehen. Auch den Fall $n=4$ hat bereits Fermat selbst geknackt. Was wirklich schwer ist, ist der allgemeine Fall von Exponenten $n>2$. Und ja, wenn man zusätzlich zu $n=3$ auch noch die Werte von einzelnen Variablen $a,b,c$ in $a^n+b^n=c^n$ festlegt, wie du das oben offenbar machst, so sind das dann halt nur mehr winzige Spezialfälle. Insgesamt würde ich von einer Beschäftigung mit dem der Fermatschen Vermutung, die ja inzwischen ein Satz ist, dringend abraten, da hier wirklich schon alles "abgegrast" ist und daher absolut kein Spielraum für "Entdeckungen" mehr da ist. Wenn man sich wirklich für Mathematik interessiert und es als Hobby nebenbei betreiben möchte, gibt es da viel ergiebigere Betätigungsfelder. ;-)


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nosapa
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18

Hallo, Weird und SemiPrim4711, es gibt eine Umformung von: x^3 +y^3 +z^3 = 0 nach a^3 +b^3 +9c^3 = +6abc Lieber Weird du kannst dich an dies Umformung bestimmt erinnern. Wie ist es möglich, sie ist von meinen Beiträgen verschwunden. Könnte es sein, dass ich sie gelöscht habe? Gruß nosapa


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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-18

Nein, ich habe nicht vor mich tiefer damit zu befassen. Hatte nur irgendwie zufällig hier im Forum darüber gelesen und ein paar Tage später kam mein Sohn 8. Klasse Gym. und legte mir seine Übungsaufgaben "binomische Formeln" zur Kontrolle vor. So bin ich auf den Gedanken gekommen und höre jetzt auch schon wieder damit auf :-) . Was wäre denn ein Betätigungsfeld für einen der neben den Grundrechenarten auch noch eine Gleichung nach x auflösen kann :-o :-? ? Übrigens: Der LaTeX Modus ist nicht kompatibel für Smartphones. Der normale Text überschreibt sehr oft die Formeln, die an sich auch sehr klein erscheinen. Perfekt dagegen wird fed angezeigt. Wäre grundsätzlich noch eine Verbesserung, da ja der Anteil der sog. mobilen Endgeräte stetig steigt. SemiPrim4711 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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weird
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-18

@nosapa War es dieser Beitrag hier? @SemiPrim4711 Ich hätte da z.B. an die Collatz-Vermutung gedacht.(Einfach googlen, gibt auch hier auf MP jede Menge Threads dazu, aus einer ist dann sogar eine Arbeitsgemeinschaft mit einer Publikation entstanden!) Allerdings brauchst da jedenfalls einen PC zusammen mit einem CAS, welches (fast) beliebig lange Zahlen verarbeiten kann, mit einem Smartphone wird das nichts. :-D


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  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-18

Danke weird, das ist sicherlich ein guter Tipp - zunächst. Es ist aber so, dass - wie ich es da sehe [Wikipedia] - ist die ganze Sache noch nicht endgültig klar oder anders, nicht bewiesen. Das ist dann wohl eher eine Aufgabe für Mathematiker die sich Zahlentheorie verschrieben haben und nicht für Leute wie ich und nahezu auch Du hier im Forum. Für mich wäre da bestimmt eine leichtere Aufgabe sinnvoller. Beste Grüße SemiPrim4711


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nosapa
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18

Hallo weird, vielen Dank für die Info. Überall hab ich gesucht nur da nicht. Hallo SemiPrim4711, ich würde dir raten, mit dem Fall x^4 +y^4 =z^4 beginnen. Verstehen, Begreifen und Verinnerlichen. Danach an n=3 anfangen. Gruß nosapa


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-18

Hi Semiprim. Ich wage mal zu behaupten, dass man mindestens 10 Jahre Mathematik studieren muss (wenn man begabt ist), um den Großen-Fermatschen-Satz zu verstehen. Mit "verstehen" meine ich den Beweis des Satzes vertehen. Wenn du aber etwas in die Mathematik reinschnuppern oder deinem Sohn Mathematik näher bringen möchtest ist das "Buch der Beweise" eine gute Anschaffung. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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nosapa
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18

es Hallo SemiPrim4711 folgt c^3-a^3=b^2*(a+c)+a^2*c-c^2*a => es muss für eine Lösung mit n=3 gelten: c^3-a^3=b^3=b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] => b muss die Bedingung erfüllen: b=[a+c+(a^2*c-c^2*a)] ----------------------------------------------------- Es ist hier ein kleiner Fehler unterlaufen. c^3-a^3 = b^2*(a+c)+a^2*c-c^2*a c^3-a^3=b^3 = b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] die Teile rechts dem = zeichen sind nicht gleich b=[a+c+(a^2*c-c^2*a)]die Potenzen stimmen nicht Gruß nosapa [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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nosapa
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18

Den Fall n=4 hat Fermat selber bewiesen. Er war Jurist von Beruf, und kein Mathematiker. Ein Abiturient muss es verstehen können, er besitzt die Lizenz zu verstehen.


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  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-18

@xiao_shi_tou_... . . das ist alles best of possi. . . melde mich morgen. . . Ich schaue mir das an und ich vermute kein großes Problem ich habe n=4 gerade in gleicher Disziplin dargestellt und es ist kein grosses Problemn.


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  Beitrag No.15, eingetragen 2019-01-19

Ich widerrufe jetzt und hier allen Blödsinn und Unfug den ich in diesem Forum geschrieben habe. Ich danke allen die mir geholfen haben vieles zu verstehen.. Liebe Grüße SemiPrim4711


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  Beitrag No.16, eingetragen 2019-01-19

@nosapa Genau das ist doch die Aussage, kein Fehler. b muss etwas sein was b nach Definition nicht sein darf.


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nosapa
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19

Hallo, SemiPrim4711 Meiner Meinung stellst du zwei Bedingungen. Weird hat genau darauf hingewiesen. A. a^2+b^2=c^2 B. a^3+b^3=c^3 A gibt es, der Pythagoras Satz und B gibt es in ganzen Zahlen nicht. Es gibt aber in der Umformung einen algebraischen Fehler. von 1. bis 4 alles richtig 1. a^2+b^2=c^2 => c^2-a^2=b^2 => (c+a)*(c-a)=b^2 2. (c+a) => (c^2-a^2)*(c+a)=b^2*(a+c) 3. c^3-a^3+c^2*a-a^2*c=b^2*(a+c) 4. c^3-a^3=b^2*(a+c)+a^2*c-c^2*a im Schritt 5 stellst du b^2 vor die eckige Klammer, richtig wäre es c^3-a^3=b^2*[(a+c)+(a^2*c-c^2*a)/b^2 ] und nicht c^3-a^3=b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] Gruß nosapa


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  Beitrag No.18, eingetragen 2019-01-19

\ Hallo, ja hatte ich ursprünglich so auch stehen. Gruß SemiPrim4711 ... 4. c^3-a^3=b^2*(a+c)+a^2*c-c^2*a im Schritt 5 stellst du b^2 vor die eckige Klammer, richtig wäre es c^3-a^3=b^2*[(a+c)+(a^2*c-c^2*a)/b^2 ] und nicht c^3-a^3=b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] Dazu: c^3-a^3=b^3=b^2*b=b^2*[(a+c)+a^2*c-c^2*a] b=[(a+c)+a^2*c-c^2*a]


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weird
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  Beitrag No.19, eingetragen 2019-01-20

@nosapa Dass SemiPrim4711 das ursprünglich richtig stehen hatte, kann ich nur bestätigen (s. auch meine Bezugnahme in #3). Nachdem er aber hier \quoteon(2019-01-19 05:23 - SemiPrim4711 in Beitrag No. 15) Ich widerrufe jetzt und hier allen Blödsinn und Unfug den ich in diesem Forum geschrieben habe. \quoteoff ohnehin alles hier Geschriebene schon für null und nichtig erklärt hat, welchen Sinn hat es da eigentlich noch, auf einzelne Fehler hinzuweisen? :-o


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PrimSieber
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  Beitrag No.20, eingetragen 2021-03-28

Nachdem hier einige Zeit Ruhe ist und wahrscheinlich das Interesse sich verlagert hat: gibt es eigentlich irgendeine Erklärung, warum es die Pythagoräischen Trippel überhaupt gibt?


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nosapa
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-23

Hallo, PrimSieber. War lange nicht mehr auf dem Planeten. Warum es die Pythagoras Zahlen gibt und die Fermat Zahlen nicht, kann ich nur antworten. Für jede Regel gibt es eine Ausnahme. Liebe Grüße Nosapa


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PrimSieber
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  Beitrag No.22, eingetragen 2021-07-31

Naja, es könnte natürlich auch so sein, dass die euklische Norm im R2 ausnahmsweise genau die Form der untersuchten Gleichung hat. Daher die Ausnahme. Wenn aber ausnahmeweise eine Lösung für N=2 existiert, und davon dann auch noch unendlich viele, ist damit nicht klar, dass für N>2 keine Lösung existieren kann?


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lula
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Wohnort: Sankt Augustin NRW
  Beitrag No.23, eingetragen 2021-07-31

Hallo PrimSieber man kann die Tripel einfach leicht "herstellen" x=u^2-v^2, y=2uv, z=u^2+v^2 und du kannst leicht nachrechnen dass x^2+y^2=z^2 für beliebige u,v aus N lula


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Slash
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  Beitrag No.24, eingetragen 2021-07-31

\quoteon(2021-03-28 15:38 - PrimSieber in Beitrag No. 20) Nachdem hier einige Zeit Ruhe ist und wahrscheinlich das Interesse sich verlagert hat: gibt es eigentlich irgendeine Erklärung, warum es die Pythagoräischen Trippel überhaupt gibt? \quoteoff Eine philosophische Erklärung gibt es wohl nicht, aber wie lula gezeigt hat eben eine Identität. Das höhere (prime) Exponenten keine Lösung besitzen war lange Zeit unklar und sehr schwierig zu zeigen. Es gibt aber eine Menge ähnlicher Gleichungen, bei denen es auch schwierig ist für höhere Exponenten mindestens eine ganzzahlige Lösung zu finden, und doch gelingt es manchmal mit großem Rechenaufwand. Diese Lösungen bestehen oft aus sehr großen Zahlen. Aber auch hier gibt es keine Erklärung dafür, warum das so ist. Das ist (wohl) die Natur diophantischer Gleichungen - entweder man hat einen Beweis oder aber eine einzelne Lösung. Gruß, Slash


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