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Universität/Hochschule J DGL-System lösen
teckora
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-06-17


Hallo,

ich möchte das folgende Differentialgleichungssystem lösen.
<math>y_{1}" = y_{1} \cdot \cos(x)</math>
und
<math>y_{2}"(x) = y_{1}(x) \cdot e^{-\sin(x)}</math>


Ich habe es mal so versucht und würde gerne von euch wissen, ob ich das so lösen kann oder ob es noch einen anderen/besseren Weg gibt.


<math>y_{1}" = y_{1} \cdot \cos(x)</math> | :y_{1}(x)

<math>\frac{\frac{dy_{1}(x)}{dx}}{y_{1}(x)} = \cos(x)</math> | integrieren

<math>\int \! \frac{\frac{dy_{1}(x)}{dx}}{y_{1}(x)} \, dx = \int \! \cos(x) \, dx  </math>

<math>log(y_{1}(x)) = \sin(x) + c_{1}</math>  | e hoch

<math>y_{1}(x) = e^{\sin(x) + c_{1}}</math>

<math>y_{1}(x) = e^{\sin(x)} \cdot e^{c_{1}}</math>

<math>y_{1}(x) = c_{1} \cdot e^{\sin(x)}</math>

Weiter:
<math>y_{2}"(x) = y_{1}(x) \cdot e^{-\sin(x)}</math>

<math>y_{2}"(x) = c_{1} \cdot e^{\sin(x)} \cdot e^{-\sin(x)}</math>

<math>y_{2}"(x) = c_{1} \cdot 1</math>

<math>\int \! y_{2}"(x) dx = \int \! c_{1} \cdot 1 \dx</math>

<math>y_{2}(x) = c_{1} \cdot x + c_{2} </math>



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-06-17


Hallo, das Ergebnis ist richtig,

ABER:

1. Was ist mit <math>y_1</math>=0? Dann hast du durch Null geteilt.

2. <math>e^{c_1}</math> ist immer positiv, du kannst das nicht durch eine gleichbenannte beliebige Konstante <math>c_1</math> ersetzen.

3. Eine Stammfunktion von <math>\dfrac1x</math> ist <math>\ln |x|</math> - sonst funktioniert das nicht für negative Argumente.

Wally



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teckora
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-17


2015-06-17 15:43 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo, das Ergebnis ist richtig,

ABER:

1. Was ist mit <math>y_1</math>=0? Dann hast du durch Null geteilt.

2. <math>e^{c_1}</math> ist immer positiv, du kannst das nicht durch eine gleichbenannte beliebige Konstante <math>c_1</math> ersetzen.

3. Eine Stammfunktion von <math>\dfrac1x</math> ist <math>\ln |x|</math> - sonst funktioniert das nicht für negative Argumente.

Wally

Danke für deine Hinweise. Aber was fange ich jetzt damit an?
zu 1.
Den Schritt für y(x) zu teilen habe ich bisher an vielen Stellen gesehen und garnicht in Frage gestellt.
Heißt das, ich muss das noch irgendwie anders lösen?

zu 2.
Gleiche Frage wie bei 1. Brauche ich einen anderen Lösungsweg?

zu 3.
Was willst du mir damit sagen?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-06-17


Naja, alles zusammen gibt das gewünschte Resultat:

1. Wenn <math>y(x_0)=0</math> ist, dann ist <math>y\equiv 0</math> eine Lösung.

2. <math>c_2=\exp(c_1)</math> ist positiv.

3. Aus <math>\ln |y|=\cdots</math> wird <math>y=\pm c_2  \exp(\cdots)</math>, also <math>c_2\neq 0</math>

Alles zusammen gibt eine beliebige reelle Konstante.

Bessere Alternative: man rechnet ein für alle Mal aus:

<math>y"=f(x) y \Rightarrow y=C \exp(\int f(x)\, dx)</math> mit <math>C\in\mathbb{R}</math>.

Wally



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teckora
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-18


Okay, also ich habe den Namen c1 beibehalten da es ja egal ist wie die Konstante heißt. Aber es ist natürlich besser  einen neuen Namen zu geben und dazuzuschreiben, dass die Konstante >  0 ist.

Wenn ich deinen Hinweis insgesamt richtig verstehe, dann muss ich beim ersten Schritt dazusagen, dass das nur für y1 ungleich 0 gilt?

Dann bei der Konstante ebenfalls dazuschreiben > 0.
Dann habe ich auch kein Problem die Stammfunktion zu bilden, denn y1 ist > 0.

Nur dann habe ich das Problem, dass y1 ja eigentlich 0 sein darf. Also angenommen die Konstante in y1 ist 0, dann ist ja die Ableitung auch 0 also ist y1' ja eine gültige Lösung dafür denn es wird dann auch 0.

Da das c1 aus y1 das gleiche c1 ist wie das in y2  (ich hoffe das ist jetzt nicht zu verwirrend) dann ist y2 zwar nicht unbedingt 0 aber y2' schon denn die Konstante verschwindet ja.

So, ich hoffe ich habe jetzt nicht alles durcheinander gebracht. Verstehst du meine Frage oder das Problem?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2015-06-18


Hallo

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teckora
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-22


Aha, danke! Jetzt habe ich es glaube ich verstanden  😄



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