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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Nicht-autonome DGL in autonome DGL überführen
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Universität/Hochschule Nicht-autonome DGL in autonome DGL überführen
Noni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-06-22


Hallo allerseits,

ich sitze gerade an einer alten Klausuraufgabe und komme nicht weiter. Sie lautet: Überführe die nicht-autonome DGL <math>\dot{x}+t^2*x^3=f(t)</math> in ein explizites System 1. Ordnung. In den Übungen haben wir auch ein Beispiel zu solch einer Aufgabe gemacht, aber nie mit grad x>1. Daher fühle ich mich jetzt aufgeschmissen und weiß nicht, wie ich nun substituieren kann. Worauf muss ich beim substituieren Wert legen? Ich habe die Vermutung, dass es sich um eine Bernoulli-DGL handelt, stimmt das? Bitte anwortet mir, ich bin ziemlich unsicher. Danke und liebe Grüße, Noni



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Mathedonut
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-06-22


Hallo Noni,

setze: <math>x_1 := x</math> und <math>x_0 := t</math> und dann sieht es so aus:

<math>\displaystyle
\begin{pmatrix}
x_0 \\
x_1
\end{pmatrix}^{\prime}
=
\begin{pmatrix}
1\\
-x_0^2 x_1^3 + f(x_0)
\end{pmatrix}
</math>

Das ist nun ein autonomes System.

Viele Grüße



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Noni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-22


Danke, Mathedonut. Aber ich würde gerne verstehen, weshalb die Substitution so gewählt wird. Worauf muss ich achten? Und liegt hier eine Bernoulli-DGL vor oder liege ich komplett falsch? Viele Grüße, Noni

Edit: Eine Bernoulli-DGL liegt scheinbar nicht vor.

Edit: Ich verstehe nicht, weshalb Du  t ableitest, x aber nicht.



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Mathedonut
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-06-22


2015-06-22 13:59 - Noni in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke, Mathedonut. Aber ich würde gerne verstehen, weshalb die Substitution so gewählt wird. Worauf muss ich achten?

Die Substitution kann man immer so wählen. Man muss da auf überhaupt nichts achten.
Wenn man ein nicht-autonomes in ein autonomes System überführen muss, dann macht man wirklich immer das obige.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2015-06-22


Hallo, Noni,

es ist wirklich keine Bernoulli-Dgl.

Ist denn verlangt, dass es ein autonomes System sein soll?

Sonst geht es noch einfacher, weil es ein 1x1-System ist.

Wally

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Noni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-22


ja ist so verlangt, Wally.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2015-06-22


Na, dann ist die Antwort von Mathedonut perfekt :)

Wally



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Noni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-22


Aber x muss doch abgeleitet werden, Mathedonut leitet aber nur t ab, also <math>x_0</math> ab, es müsste aber doch auch in der unteren Koordinate abgeleitet werden, weshalb wird es dort nicht gemacht? Kann mir das bitte jemand erklären?

Edit: Ach, tut mir leid. Ich lasse mich immer so schnell verunsichern, ich dachte durch den Strich, ich müsste noch ableiten, dabei steht die DGL aber ja schon da. Tut mir leid, ich bin immer total nervös, wenn ich was nicht hinbekomme und sehe den Wald vor lauter Bäumen dann nicht.


Vielen lieben Dank für Eure Hilfe!
Noni



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