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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Fourierreihen periodischer Funktionen
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Universität/Hochschule J Fourierreihen periodischer Funktionen
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  Themenstart: 2015-07-04

Ich soll die unten dargestellte Funktion als Fourierreihe beschreiben. Dazu habe ich die Funktion durch zwei lineare Funktionen beschrieben: u(\theta) = U_0/\pi * (\theta + \pi) , im Intervall [-\pi,0] = -U_0/\pi * (\theta -\pi) , im Intervall (o,\pi] Nun möchte ich die Fourierkoeffizienten berechnen. Die Funktion ist gerade, daher entfällt der sinus-Anteil. Für den cos- Anteil müsste gelten: A_k = 2/T * int(f(t)*cos(k\omega *t),t,0,T) A_k = 2/(2\pi) * int(u(\theta)*cos(k*\theta),\theta,0,2\pi) In der Lösung wird die Funktion allerdings nur im Intervall 0 bis \pi betrachtet. Das verstehe ich leider gar nicht. Laut Lösung müsste ich also für A_k erhalten: A_k = 2/\pi * int(-U_0/\pi *(\theta-\pi)*cos(k*\theta),\theta,0,\pi) A_k = -2U_0/\pi^2 * int(\theta*cos(n*\theta)-\pi*cos(n\theta),\theta,0,\pi) Ich hoffe ihr könnt mir die Grenzen des Integrals erklären Grüße Luke http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/38113_Bildschirmfoto_2015-07-04_um_16.59.41.png


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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-04

\quoteon(2015-07-04 17:15 - Luke-11 im Themenstart) In der Lösung wird die Funktion allerdings nur im Intervall 0 bis \pi betrachtet. Das verstehe ich leider gar nicht. \quoteoff Hier liegt ja eine gerade Funktion vor. Es reicht also das Integral nur über die die eine Hälfte der Periode auszuführen und das ganze dann mit zwei zu multiplizieren.


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-04

ok, das verstehe ich. Allerdings habe ich nicht den Eindruck, dass das in der Lösung auch gemacht wurde: Die allgemeine Formel zur Berechnung des Fourierkoeffizienten lautet: A_k = 2/T*int(f(t) *cos(k\omega t),t,0,T) in unserem Fall also: (, wenn wir \pi als Periodenlänge annehmen) A_k = 2/\pi * int(u(\theta)*cos(k\theta),\theta,0,\pi) das führt zu dem Ergebnis: A_k = -2*U_0/\pi^2 * (((-1)^k-1)/(k^2)) Im folgenden wird dann behauptet, dass nur ungerade Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden. Es wird eine neue Zählvariable eingeführt mit k = 2n-1 A_(2n-1) = 4U_0/\pi^2 *1/(2n-1)^2 haben die geraden bzw. ungeraden Koeffizienten etwas damit zu tun, dass die Funktion gerade ist und wir statt der tatsächlichen Periodenlänge nur die Hälfte betrachten?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-07-04

\quoteon(2015-07-04 17:50 - Luke-11 in Beitrag No. 2) ok, das verstehe ich. Allerdings habe ich nicht den Eindruck, dass das in der Lösung auch gemacht wurde: \quoteoff Doch, das wurde hier gemacht. Die Periode ist $T = 2\pi$. Aus dem Vorfaktor $\frac{2}{T}$ wird dann $\frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$. Der Faktor 2 kommt durch das Ausnutzen der Symmetrie. \quoteon(2015-07-04 17:50 - Luke-11 in Beitrag No. 2) A_k = 2/T*int(f(t) *cos(k\omega t),t,0,T) A_k = -2*U_0/\pi^2 * (((-1)^k-1)/(k^2)) Im folgenden wird dann behauptet, dass nur ungerade Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden. \quoteoff Das macht auch Sinn, weil $a_k \sim ((-1)^k - 1)$ ist. Für gerade k hast du da $1-1 = 0$ stehen. Damit fallen die geraden $a_k$ weg.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-04

alles klar, ja. Danke für die schnelle Antwort. wegen der Periodendauer: T = 2*\pi 1/T = 1/ (2*\pi) aufgrund der Symmetrie gilt: 2* 1/T = 2/(2\pi) = 1/\pi) die Grenzen im Integral betragen ja nach der allgemeinen Formel: int(,t,0,T) hier wird für T dann allerdings nur \pi und nicht 2\pi eingesetzt. Also steht dieses T wohl nicht für die Periodendauer, sondern nur für den Abschnitt der Funktion, den wir betrachten. Verstehe ich das richtig?


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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-07-04

T ist weiterhin die komplette Periodendauer. Es wird der Übergang $\frac{2}{T}\int_0^T ... dt$ zu $\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} ... d\varphi$ gemacht. Durch die Ausnutzung der Symmetrie der geraden Funktion wird daraus dann $\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} ... d\varphi$.


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