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  Beugungsbild gleich reziprokes Gitter |
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Don-ch
Junior 
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 |  Themenstart: 2015-08-16
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Hallo zusammen,
ich bin eigentlich ziemlich sattelfest in der Festkörperphysik, aber eine Frage treibt mich um und ich bekomme sie einfach nicht gelöst:
Weshalb entspricht das Beugungsbild (im Realraum) den reziproken Gittervektoren, die die Laue-Bedingung erfüllen?
Also man kann die reziproken Gittervektoren $\bf G$ einführen, indem man die Streudichte $ \rho (\bf r) $ als Fourier-Reihe schreibt (unter der vereinfachten Annahme, dass $ \rho (\bf r) $ eine periodische Funktion mit Translationssymetrie ist):
$ \rho (\bf r) = \sum_{\bf G} \rho_{\bf G} e^{i\bf G \cdot r} $
Daraus folgen dann die ganzen Eigenschaften von den reziproken Gittervektoren $ \bf G $, die senkrecht auf den Gitterebenen stehen usw...
Unter anderem folgt durch die Berechnung der Intensität dann die Laue-Bedingung für Beugung: $ \bf G = K $ mit $ \bf K = k - k_0 $ mit dem einfallenden und dem gestreuten Wellenvektor. Mit dieser Bedingung kann man dann die Ewald-Kugel konstruieren und die $ \bf k$-Vektoren, die auf der Ewald-Kugel liegen sind jene, die wir als Beugungsbild sehen.
Und genau diesen Zusammenhang verstehe ich nicht. Weshalb können wir die Punkte im k-Raum als Beugungsbild im realraum sehen?
Die Lösung sollte eigentlich in der Formel $ \bf G = K $ liegen. Bzw. kann man mit etwas Geometrie in der Ewald-Konstruktion auf die Bragg-Bedingung $ {G_{hkl}} = \frac{2 \pi}{d_{hkl}} = 2 k_0 \sin \theta $ und dadurch $ \lambda = 2 d_{hkl} \sin \theta $ kommen, aber auch da fehlt mir irgendwie der direkte Bezug von Beugungsbild im realraum und Gittervektoren im reziproken Raum.
Hat jemand von euch eine Idee?
Don-ch
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-08-16
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\quoteon(2015-08-16 14:32 - Don-ch im Themenstart)
Und genau diesen Zusammenhang verstehe ich nicht. Weshalb können wir die Punkte im k-Raum als Beugungsbild im realraum sehen?
\quoteoff
Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe. Aber so, wie ich dich verstehe unterliegst du glaube ich einem Gedankenfehler. Vektoren im Real- und reziproken Gitter werden durch eine Transformation überführt. Die Beugungsbilder werden nur in den Realraum abgebildet.
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Parachute
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| Beitrag No.2, eingetragen 2015-08-16
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\quoteon(2015-08-16 18:33 - Berufspenner in Beitrag No. 1)
Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe. Aber so, wie ich dich verstehe unterliegst du glaube ich einem Gedankenfehler. Vektoren im Real- und reziproken Gitter werden durch eine Transformation überführt. Die Beugungsbilder werden nur in den Realraum abgebildet.
\quoteoff
Es geht hier glaub ich zu klären, warum genau das reziproke Gitter als Beugungsbild in den Realraum abgebildet wird.
Unter folgendem Link steht was dazu:
http://www.cem.msu.edu/~cem924sg/Reciprocal.html
Gruss
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Don-ch
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-17
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\quoteon(2015-08-16 18:33 - Berufspenner in Beitrag No. 1)
Vektoren im Real- und reziproken Gitter werden durch eine Transformation überführt. Die Beugungsbilder werden nur in den Realraum abgebildet.
\quoteoff
So habe ich das auch immer verstanden: Die Beugungsbilder bleiben im Realraum und die reziproken Gitter im k-Raum (warum viele Lehrbücher die beiden Räume oft ineinander zeichnen ist mir ein Rätzel). Der Punkt ist, dass das Beugungsbild und die Gitterpunkte im reziproken Raum (unter beachtung der Laue-Bedingung) identisch aussehen und ich weiß nicht warum.
\quoteon(2015-08-16 19:48 - Parachute in Beitrag No. 2)
Es geht hier glaub ich zu klären, warum genau das reziproke Gitter als Beugungsbild in den Realraum abgebildet wird.
\quoteoff
Genau das ist das Problem. Wenn ich nichts übersehen habe, veranschaulicht der Text im Link leider auch nur die Bragg Gleichung, führt dann das reziproke Gitter ein und sagt dann, dass die beiden gleiche Eigenschaften haben. Zu dem direkten Zusammenhang schreiben die nur:
"An alternate (and much used) idea is to make use of a reciprocal lattice which is directly related to the diffraction pattern."
und
"The diffraction pattern is just a scaled version of the reciprocal lattice!"
Aber warum das so ist wird nicht beschrieben. Wie gesagt, werden nur die Eigenschaften verglichen, wenn ich nichts übersehen habe.
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Parachute
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| Beitrag No.4, eingetragen 2015-08-17
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Da gibts keine direkte mathematische Herleitung aber Hinweise warum das so sein muss:
(A) Sin[theta] is proportional to 1/d, which implies a large atomic spacing will produce a small diffraction angle and a small atomic spacing will produce a large diffraction angle. This already gives us a hint about a reciprocal relationship between the real arrangement and the diffraction pattern.
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Don-ch
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-18
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Meint ihr da gibt es generell keine Herleitung und das ist einfach ein Modell das funktioniert?
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Berufspenner
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| Beitrag No.6, eingetragen 2015-08-18
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Moin
Am ehesten kann es vielleicht über den Fourier-Ansatz erklären. Periodische Funktionen lassen sich in diskrete Fourier-Koeffizienten transformieren. Das selbe passiert im Gitter auch gewissermaßen. Die periodische Struktur des direkten Gitters führt zu diskreten Punkten im reziproken Gitter. Die Bragg-Bedingung geht ja von Interferenz an Ebenenscharen im direkten Gitter aus, die zu punktförmigen Reflexen führen. Die Reflexe sieht man ja im direkten Raum des betrachters. Mit der Äquivalenz der Bragg- und von Laue-Bedingung wird allerdings der Bezug zwischen den (etwas willkürlich eingeführt wirkenden) Ebenenscharen im direkten Gitter und den Vektoren des reziproken Gitters hergestellt.
Zusammenfassend kann man also den Weg gehen, dass über die Periodizität des Kristalls (direktes Gitter) die Struktur des reziproken Gitters begründet wird und wiederum über die Laue-Bedingung die Existenz von Reflexen. Ein ähnliches Beispiel ist der Beugungsversuch am Einzelspalt. Die Form des Einzelspalts lässt sich über eine Rechteckfunktion beschreiben. Das Interferenzmuster, das ebenfalls eindeutig im direkten Raum des Betrachters liegt, bildet allerdings nicht diese Rechtekfunktion sondern das Quadrat der Sinc-Funktion (da es ein Intensitätsprofil ist $I\sim E^2$) ab. Die Sinc-Funktion ist eben die Fourier-Transformiertes der Rechteckfunktion.
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Don-ch
Junior
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-21
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So macht das durchaus Sinn! Vielen Dank :-)
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