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Funktionentheorie » Holomorphie » Möbiustransformation finden (bei Reduktion elliptischer Integrale)
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Universität/Hochschule J Möbiustransformation finden (bei Reduktion elliptischer Integrale)
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2015-09-10

Hallo! Ich hoffe, hier kann mir jemand helfen. Ich habe die Frage schon im matheboard (http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=559742) gestellt, aber keine Antwort bekommen. Es geht eigentlich um die Reduktion elliptischer Integrale auf Normalform (Königsberger 1, Seite 213). Dort wird folgendes recht knapp behauptet: Gegeben ein Polynom $P \in \mathbb{R} [X]$ von Grad 4, das vier verschiedene reelle Nullstellen $x_1 < \dots < x_4$ hat. Behauptet wird (ohne Beweis), es existiere ein Polynom $Q(t) = (1-t^2) (1 - k^2 t^2), \quad k \in \mathbb R$ sowie eine Substitution $x = T(t) = \frac{a t + b}{c t + d}$, so daß gilt $\frac{dx}{\sqrt{P(x)}} = \frac{1}{\sqrt{P(T(t))}} \cdot \frac{a d - b c}{(c t+ d)^2} dt = \mathrm{const} \cdot \frac{dt}{\sqrt{Q(t)}}$. Die Zahl $k$ sei das Doppelverhältnis der Nullstellen von P. Ich weiß auch gar nicht, ob die Frage hier richtig ist, da ja eigentlich reelle Koeffizienten gefordert sind. Aber ich dachte, da es ja im Endeffekt um eine Möbiustransformation geht, kann ich die Frage hier stellen, und zudem werden ja elliptische Funktionen in der Funktionentheorie untersucht... Wenn ich das richtig sehe, muß doch $\lbrace x_1, \dots , x_4 \rbrace $ auf $\lbrace -1/k, -1, 1, 1/k \rbrace$ abgebildet werden (es wird außerdem behauptet, k sei zwischen 0 und 1). Nun hat ja eine Möbiustransformation die Eigenschaft, daß sie das Doppelverhältnis erhält. Dann wäre aber $(x_1, x_2 ; x_3, x_4) = (-1/k, -1; 1, 1/k) = \frac{(k-1)^2}{(k+1)^2}$ Nun sagt WolframAlpha, daß man, je nach Anordnung der Zahlen, statt $\lambda$ beim Doppelverhältnis auch $1-\lambda, 1/\lambda, (\lambda - 1)/\lambda, \lambda / (\lambda - 1), 1 / (1 - \lambda )$ bekommen kann. In keinem der Fälle bekomme ich doch aber das behauptete $k$. Habe ich einen Denkfehler?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-09-10

\quoteon(2015-09-10 15:01 - bokajowitsch im Themenstart) Habe ich einen Denkfehler? \quoteoff Hi bojakowitsch, anscheinend ja. Er ist hier: \quoteon(2015-09-10 15:01 - bokajowitsch im Themenstart) Die Zahl $k$ sei das Doppelverhältnis der Nullstellen von P. \quoteoff So klappt das nicht. k ist nicht das Doppelverhältnis. Sondern k muss so bestimmt werden, dass die beiden Polynome dasselbe Nullstellen-Doppelverhältnis haben. Gruß Buri


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-10

Hey! Danke schonmal für die Antwort. Aber die Behauptung ist nicht von mir, sondern sie steht so im Königsberger. Ist etwa der Königsberger an der Stelle falsch? Ich habe noch eine weitere Unklarheit: Es muß ja $\frac{1}{\sqrt{P(T(t))}} \cdot \frac{a d - b c}{(c t+ d)^2} dt = \mathrm{const} \cdot \frac{dt}{\sqrt{Q(t)}}$ sein. Das heißt allerdings kann ja der linke Ausdruck unendlich werden, wenn $t = -d/c$ ist. Müßte dann nicht $Q(t)$ dort ebenfalls eine Nullstelle haben? Deswegen habe ich ja auch die Aussage, daß die Nullstellen von P auf die Nullstellen von Q abgebildet werden müssen, etwas relativiert ("wenn ich richtig verstehe"). Stimmt das so?


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-09-10

\quoteon(2015-09-10 15:23 - bokajowitsch in Beitrag No. 2) 1. ... Ist etwa der Königsberger an der Stelle falsch? 2. ... Müßte dann nicht $Q(t)$ dort ebenfalls eine Nullstelle haben? 3. ... habe ich ja auch die Aussage, daß die Nullstellen von P auf die Nullstellen von Q abgebildet werden müssen, etwas relativiert ... . Stimmt das so? \quoteoff Hi bojakowitsch, 1. wahrscheinlich nicht, aber das, was du als Auszug angegeben hast, ist sicherlich falsch (denn P = Q und T = Identität ist ein Gegenbeispiel), weil Königsberger wohl etwas anderes macht. Man muss vorsichtig sein, es gibt auch quadratische Transformationen, nämlich die von Gauß und Landen, und wenn Königsberger sich auf diese bezieht, könnte es stimmen. 2. Nein. ct+d kürzt sich mit den Polstellen, die von der Transformation T(t) herkommen. 3. Es stimmt so. In diesem Fall kann man das so sagen. Aufpassen muss man nur, wenn (salopp gesagt) "unendliche" Nullstellen vorkommen. Ich möchte darauf indessen nicht weiter eingehen und nur auf Anfrage mitteilen, wie es denn "nicht salopp" zu formulieren wäre. Gruß Buri


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-10

Hi Buri, vielen Dank nochmals! Das Gegenbeispiel ist in der Tat ziemlich überzeugend (hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können). Du bekommst gleich eine PN von mir.


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