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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Beziehung zwischen Laplace- und Fourier-Transformation
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Universität/Hochschule J Beziehung zwischen Laplace- und Fourier-Transformation
robertoprophet
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  Themenstart: 2015-11-11

Ich hoffe es findet sich in diesem Forum jemand, der sich damit auskennt: Bekanntermaßen gilt folgendes: Regt man ein System mit dem Dirac-Impuls \delta(t) an, so ist das Ausgangssignal die Impulsantwort g(t). Wendet man nun auf diese Impulsanwtort die Laplace-Transformation an, erhält man die Übertragungsfunktion G(s) mit s=\sigma+j\omega. Für den Spezialfall \sigma=0 ergibt sich, so steht es in den Lehrbüchern geschrieben, der Frequenzgang G(j\omega). Andererseits finde ich in der einschlägigen Literatur, dass man ebenso den Frequenzgang G(j\omega) erhält, wenn man die Impulsantwort Fourier-transformiert. Nun könnte ja angenommen werden, dass man für jede Funktion (also nicht nur g(t)) den Frequenzgang, sprich das Ergebnis der Fourier-Transformation, erhält, wenn man im Ergebnis der Laplace-Transformation das \sigma null setzt. Dem ist aber nicht so! Wenn ich mir die Korrespondenzen der beiden Transformationen ansehe und miteinander vergleiche, dann gibt es da nahezu keine Übereinstimmungen. Ich habe mich natürlich gefragt, wieso? Liegt es daran, dass die Laplace-Transformation häufig nur für Re(s)>0 konvergiert, und somit nur die einseitige Laplace-Transformation benutzt wird? Und wieso gilt gerade für die Impulsantwort, dass deren Laplace-Transformierte für \sigma=0 bzw. s=j\omega in die Fourier-Transformierte übergeht, währenddessen das bei anderen Funktionen nicht der Fall ist? Ich bin demjenigen wirklich dankbar, der meine Gedanken etwas ordnen kann :) Update: Thread bitte schließen. Habe meine Gedanken selbst ordnen können :D


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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-11

\quoteon(2015-11-11 15:54 - robertoprophet im Themenstart) Update: Thread bitte schließen. Habe meine Gedanken selbst ordnen können :D \quoteoff Es ist nun alles klar? ;-)


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robertoprophet
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-11

Ich denke schon. Zu meiner gedanklichen Unordnung beigetragen haben die nicht einheitlichen Formelzeichen in der Literatur. Ich stelle es mir nun so vor: Der Übergang von der Laplace-Transformierten zur Fourier-Transformierten mittels s=j\omega funktioniert dann, wenn bei beiden Transformationen dieselben Integrationsgrenzen berücksichtigt werden. Da die "gängige" Laplace-Transformation nur einseitig erfolgt, also f(t) für t>=0, muss dies bei der üblicherweise "zweiseitig" ausgeführten Fourier-Transformation genauso sein, oder aber man multipliziert das zu transformierende Signal vorneweg mit dem Einheitsprung \epsilon(t), was dann f(t)=0 für t<0 impliziert. Genau diese Eigenschaft hat auch die Impulsantwort g(t). Sie ist also kausal. Mit diesen Zeilen habe ich für den Moment meinen geistigen Frieden gefunden :)


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