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Universität/Hochschule J Magisches Quadrat als Vektorraum
Neodym342
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  Themenstart: 2015-11-18

Hallo, meine Aufgabe: Wir nennen ein reelles magisches Quadrat eine quadratische reelle Matrix mit der Eigenschaft, dass die Summen der Koeffizienten in jeder Spalte und in jeder Zeile den gleichen Wert ergeben. a) Zeigen sie, dass die Menge MQ_n der reellen magischen Qaudrate der Größe n\cross n (n\in\IN) mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum ist. Ich weiß wie ein Vektorraum definiert ist, bloß ich habe keine Ahnung wie ich ohne wirklich Vorschrift z.B. ein Inverses Element oder Assoziativität beweisen soll. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-19

Hi Neodym342, das ist gar nicht so schlimm. Wir betrachten zunaechst die Matrix, deren saemtliche Eintraege Nullen sind. Die Summe der Eintraege einer beliebigen Spalte der Matrix ist Null, auch die Summe einer beliebigen Zeile ist Null. Sie ist also insbesondere in deiner Menge. Die Vorschrift der Addition ist die kompenentenweise Addition. Wenn du also ein beliebiges Element deiner Menge mit der Nullmatrix komponentenweise addierst, aendert sich nichts (eben weil Null das neutrale Element der Addition auch in der Menge der reellen Zahlen ist) Mit dem Inversen einer Matrix bezueglich der Addition funktioniert dies genauso. Begruende hier, dass die Summe der Eintraege einer Zeile der negativen Summe der Eintraege einer Zeile der Orginalmatrix entspricht. Liebe Gruesse


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Neodym342
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-19

Hallo, Das scheint mir logisch, bloß zeige ich dann auch, dass das für alle nxn Matrizen gilt? Der Prof meinte gerade, dass wir nur zeigen müssen, dass die magischen Quadrate ein UVR bilden, da die Matrizen allgemein schon ein VR bilden. Dann müsste ich ja nur 3 Eigenschaften zeigen. Bloß wenn ich das für die Nullmatrix zeige reicht das dann?


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-11-19

Na dann ist es doch noch besser, dann zeige nur, dass es fuer alle natuerlichen Zahlen $N$ die Nullmatrix ein magisches Quadrat ist, dass die Summe zweier magischer Quadrate wieder eins ist und dass die Multiplikation mit einem Skalar auch nichts daran aendert.


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Neodym342
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-19

Wie kann ich dass denn mathematisch zeigen? Ich weiß nicht wie ich das für eine nxn Matrix zeigen soll. Bei 3x3 würde ich jetzt eine bzw. Matrix aufstellen und diese addieren. Aber wie soll ich das hier so allgemein machen? Muss ich da mit Summen arbeiten?


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-11-20

Versuche es allgemein zu machen. 1. Zeige $MQ_n$ ist nicht leer, dazu zeigst du, dass die Nullmatrix in der Menge liegt. 2. Zeige, dass wenn $A$ und $B$ zwei beliebige Elemente aus $MQ_n$ sind, dass dann auch $A+B$ in $MQ_n$ liegt, dazu musst du ausnutzen, dass jedes der beiden Elemente bestimmte Eigenschaften besitzt. Nutze die kompnentenweise Addition. 3. Zeige, dass wenn $A$ ein beliebiges Element aus $MQ_n$ ist, dass dann fuer jedes Skalar $c$ auch $cA$ in $MQ_n$ liegt.


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Neodym342
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-20

Zu zeigen: MQ_n ist nicht leer für magisches Quadrat gilt: sum(a_ij,i=1,n) = sum(a_ij,j=1,n) Wenn a_ij = 0 =>sum(0,i=1,n) = sum(0,j=1,n) <=> 0 = 0 -> Nullmatrix \el\ MQ_n und damit nicht leer. Kann ich das so zeigen?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2015-11-20

\quoteon(2015-11-20 16:23 - Neodym342 in Beitrag No. 6) Kann ich das so zeigen? \quoteoff Hi Neodym42, natürlich, aber so ausführlich muss man das nicht hinschreiben. Es genügt die einfache Feststellung, dass die Nullmatrix ein magisches Quadrat ist, weil alle Zeilen- und Spaltensummen 0 sind, und somit die Bedingung erfüllt ist. Gruß Buri


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Neodym342
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-20

Danke, dann habe ich es glaube ich geschafft die anderen beiden auch zu beweisen. Wahrscheinlich ein wenig umständlich. Eine Frage noch: Ich soll die Dimension der nxn-Matrizen herausfinden. Meine Vermutung ist n! Dimensionen. Bei einer 1x1 Matrix also dim = 1, dim (2x2 Matrix) = 2, dim (3x3 Matrix) = 3, usw... Die Frage ist wie kann ich das ordentlich begründen? Es gibt sozusagen n! verschiedene Möglichkeiten eine Matrix zu basteln, so dass alle Fälle abgedeckt sind. Bei 2x2 wäre das: matrix(0,1;1,0) matrix(1,0;0,1)


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ochen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-11-21

Hi, wie habt ihr die Dimension eines Vektorraums definiert? Kannst du eine Basis des Vektorraums der $n\times n$ Matrizen angeben? Fuer $n=3$ ist die Dimension 9 und nicht 3, fuer $n=2$ ist die Dimension 4. Ausserdem ist $3!\neq 3$, aber das ist fuer die Aufgabe auch gar nicht wichtig, denn sie hat eigentlich nicht so viel mit Permutationen zu tun.


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Neodym342
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-21

Huch, ich meinte natürlich bei 3x3 Matrix 6 dimensional. Unser Prof meinte die 1x1 Matrix ist 1 dimensional, 2x2 Matrix 2 dimensional, aber 3x3 nicht mehr 3 dimensional. Als Dimensionen haben wir meiner Meinung nach das minimale Erzeugendensystem also die Basis bezeichnet. Warum sollte bei einer 3x3 Matrix die Dimension 9 sein? Wir müssten doch 6 lineare unabhängige Gleichungen haben oder irre ich mich?


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ochen
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  Beitrag No.11, eingetragen 2015-11-21

Hi, jetzt verstehe ich, was du meinst. Du suchst auch die Dimension des Vektorraums der Magischen Quadrate einer bestimmten Groesse. Fuer $n=1$ und $n=2$ hast du recht und die von dir angegebene Basis bei $n=2$ ist auch richtig. Fuer $n=3$ habe ich noch nicht darueber nachgedacht, aber die sechs Gleichungen, die du vermutlich meinst, sind nicht linear unabhaengig. Ausserdem muss die Dimension des Vektorraum des Magischen Quadrate kleiner als $n^2$ sein, also insbesondere kleiner als $n!$ fuer $n>4$. Liebe Gruesse


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Neodym342
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-21

Ja genau. Ok die 6 Gleichungen sind tatsächlich nicht linear unabhängig. Aber laut meinen Überlegungen müsste die 3x3 Matrix dann auch 3 dimensional sein. Ich weiß nicht wie die mehr Dimensionen haben kann.


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Neodym342
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-22

Irgendein tip?


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ochen
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  Beitrag No.14, eingetragen 2015-11-22

Ja schon, aber der ist mit Rechnen verbunden: Nimm dir die Abbildung $\displaystyle f\colon \mathbb R^{3\times 3} \to \mathbb R, A\mapsto \left[\begin{matrix} a_{21} + a_{22} + a_{23} - a_{11} - a_{12} - a_{13} \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} - a_{11} - a_{12} - a_{13} \\ a_{11} + a_{21} + a_{31} - a_{11} - a_{12} - a_{13} \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} - a_{11} - a_{12} - a_{13} \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} - a_{11} - a_{12} - a_{13} \\ \end{matrix}\right]$ und bestimme den Kern. Eine Basis des Kerns dieser Abbildung ist auch eine Basis des Vektorraums der Magischen Quadrate mit der Groesse 3x3. EDIT: Habe die Eintraege geaendert


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Buri
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  Beitrag No.15, eingetragen 2015-11-22

\quoteon(2015-11-21 11:37 - Neodym342 in Beitrag No. 10) Unser Prof meinte die 1x1 Matrix ist 1 dimensional, 2x2 Matrix 2 dimensional, aber 3x3 nicht mehr 3 dimensional. \quoteoff Hi Neodym342, nein, das hat der Professor hoffentlich weder gesagt noch gemeint. Eine Matrix hat überhaupt keine Dimension, sie hat allerdings eine Größe, die durch das Zahlenpaar (m,n) aus Zeilenzahl und Spaltenzahl beschrieben wird. Nur Vektorräume (in diesem Fall geht es um solche, deren Elemente Matrizen sind) können eine Dimension haben. Also: Es geht um Mengen, die aus Matrizen bestehen, das ist etwas völlig anderes als die Matrizen selbst, und es ist Professoren nicht erlaubt, so etwas durcheinanderzubringen, somit haben sie es auch nicht getan. Sondern du hast es wahrscheinlich nur falsch verstanden oder nicht originalgetreu wiedergegeben. Die Aussage "die Menge der 1 x 1-Matrizen ist 1-dimensional" ist noch halbwegs richtig, obwohl es ihr an Klarheit fehlt, aber die Aussage "die Menge der 2 x 2-Matrizen ist 2-dimensional" ist bereits ganz sicher falsch. Gruß Buri


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Neodym342
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-22

Hallo, Wie kommst du auf diese Abbildung? Und soll es in der vorletzten Zeile wirklich a22 + a22 heißen? Grüße und danke schon mal Hi Buri, Wahrscheinlich habe ich es dann falsch wiedergegeben oder falsch verstanden. Sorry :( [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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ochen
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  Beitrag No.17, eingetragen 2015-11-22

Nein, habe es jetzt geaendert, ich meinte etwas anderes. Entschuldige. Die Abbildung gibt dir die Bedingungen, die eine reelle Matrix erfuellen muss, um ein magisches Quadrat zu sein. Die erste Zeile darfst du beliebig waehlen und alle anderen Zeilen und Spalten muessen dementsprechend angepasst werden


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Buri
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  Beitrag No.18, eingetragen 2015-11-22

\quoteon(2015-11-21 12:57 - ochen in Beitrag No. 11) ... Fuer $n=3$ habe ich noch nicht darueber nachgedacht, aber die sechs Gleichungen, die du vermutlich meinst, sind nicht linear unabhaengig. \quoteoff Hi ochen & Neodym342, ja, und für ein n x n-Quadrat gibt es 2n Bedingungen, zwischen denen es im wesentlichen genau eine Abhängigkeit gibt. Also muss man von 2n-1 Bedingungen ausgehen, denn wenn man eine davon weglässt, sind die verbleibenden Bedingungen unabhängig. Außerdem gibt es n2+1 Parameter, nämlich die Matrixelemente und die vorgegebene Summe sämtlicher Zeilen und Spalten. Die Dimension des Raumes der magischen n x n-Quadrate beträgt daher n2+1-2n+1 = (n-1)2 + 1. Natürlich ändert sich die Antwort, wenn man magische Quadrate im üblichen Sinne auffasst, das heißt, wenn auch die Diagonalsummen noch zu den übrigen Summen gleich sein müssen. Gruß Buri [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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Neodym342
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Hallo Buri, danke für deine ausführliche Antwort. Woher weiß ich, dass die 2n-1 Bedingungen unabhängig sind? Wo ist mein Denkfehler? Angenommen wir haben folgendes Quadrat: matrix(1,2,3;2,3,1;3,1,2) Dann hätten wir doch die 6 Bedingungen: x+2y+3z=6 2x+3y+z=6 3x+y+2z=6 6x=6 6y=6 6z=6 Wenn ich jetzt eine weglasse sind die doch nicht unabhängig oder?


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Buri
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  Beitrag No.20, eingetragen 2015-11-22

\quoteon(2015-11-22 17:15 - Neodym342 in Beitrag No. 19) 1. Dann hätten wir doch die 6 Bedingungen: 2. Wenn ich jetzt eine weglasse sind die doch nicht unabhängig oder? \quoteoff Hi Neodym342, 1. nein, hätten wir nicht, jedenfalls nicht bei magischen Quadraten. Wie kommst du überhaupt darauf, Unbekannte x,y,z einzuführen? Was sollen sie bedeuten, wenn doch die Matrix gegeben ist? Bei magischen Quadraten sind die Koeffizienten immer 1 oder 0. 2. Natürlich nicht. Es sind zuwenig Variablen. 5 Gleichungen mit 3 Variablen können nicht unabhängig sein. Gruß Buri


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Ach man. Dachte mit den Variablen ist das leichter ersichtlich was ich meine. So jetzt nochmal nach besseren Überlegen: matrix(1,0,0;0,1,0;0,0,1),(1,0,0;0,0,1;0,1,0) matrix(0,1,0;1,0,0;0,0,1),(0,1,0;0,0,1;1,0,0) matrix(0,0,1;1,0,0;0,1,0),(0,0,1;0,1,0;1,0,0) Das müssten die 6 Bedingungen für 3x3 Quadrate sein. Wenn wir jetzt eine Bedinung streichen, sind die verbleibenden 5 unabhängig (wenn ich mich nicht irre). Entschuldigung für meine unüberlegten Ideen. Ich hoffe, dass ist jetzt richtig, sonst sollte ich vielleicht aufhören mit Mathe heute :-P Grüße


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Buri
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  Beitrag No.22, eingetragen 2015-11-22

\quoteon(2015-11-22 18:08 - Neodym342 in Beitrag No. 21) Das müssten die 6 Bedingungen für 3x3 Quadrate sein. \quoteoff Hi Neodym342, nein. Das sind nur Matrizen, keine Bedingungen. Aber ich verstehe, was du meinst. //EDIT: Wie sich herausstellt (Beitrag #23), habe ich es aber anders verstanden, als es gemeint war. Für magische Quadrate lauten die Matrizen, die den Bedingungen entsprechen, anders, nämlich (1,1,1;0,0,0;0,0,0),(0,0,0;1,1,1;0,0,0),(0,0,0;0,0,0;1,1,1), (1,0,0;1,0,0;1,0,0),(0,1,0;0,1,0;0,1,0),(0,0,1;0,0,1;0,0,1). Magische Quadrate haben mit Permutationsmatrizen, wie sie im Beitrag #21 vorkommen, gar nichts zu tun, außer im Fall n = 3, wo das angegebene Vorgehen noch möglich ist. Gruß Buri


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Neodym342
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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-22

Ok. Ich dachte die Matrizen müssten die Bedingung, ein magisches Quadrat zu sein selbst erfüllen. Auf diese Idee bin ich gar nicht gekommen. Ich danke dir für deine Antworten.


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Buri
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  Beitrag No.24, eingetragen 2015-11-22

\quoteon(2015-11-22 18:47 - Neodym342 in Beitrag No. 23) Ich dachte die Matrizen müssten die Bedingung, ein magisches Quadrat zu sein selbst erfüllen. \quoteoff Hi Neodym342, diese Auffassung ist ja genauso möglich, und wenn du es so gemeint hast (das konnte ich aber nicht erkennen), sollen die Matrizen im Beitrag #21 selbst magische Quadrate sein und eine Basis des Vektorraums der magischen Quadrate bilden. Das kann aber nur dann stimmen, wenn man eine der 6 Matrizen weglässt. Und dann stimmt es wirklich. Solche Überlegungen sind aber auf größere Matrizen nicht übertragbar, siehe Beitrag #11. Gruß Buri


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Neodym342 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neodym342 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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