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Funktionentheorie » Holomorphie » konstante Funktion - Identitätssatz(?)
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Universität/Hochschule J konstante Funktion - Identitätssatz(?)
Feilx
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  Themenstart: 2015-11-21

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben: Sei $f:\IC\rightarrow\IC$ holomorph mit $f|_\IR\in C_c(\IR)$. Dann gilt bereits $f\equiv 0$. Dabei ist $C_c(\IR)$ die Menge aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Ich weiß noch nicht so genau wie ich das zeigen soll. Mein Idee sieht momentan wie folgt aus: Der Identitätssatz sieht hier ganz nützlich aus, da $\IC$ ein Gebiet, f holomorph und wenn ich zb zeigen kann, dass die Ordnung von f unendlich oder die Nullstellenmenge von f einen Häufungspunkt in $\IC$ hat mir $f\equiv 0$ liefert. Kann ich die Aufgabe damit lösen? Weiter habe ich erstmal die Begriffe geklärt. Der kompakte Träger $\overline{\{x\in\IR;f(x)\neq 0\}}$ könnte mir vielleicht helfen um eine nicht-diskrete Teilmenge aus $\IC$ zu finden, so dass ich zeigen kann in dieser gibt es einen Häufungspunkt. Dann wäre die Aussage gezeigt. Ich hatte überlegt, ob man dafür das Komplement vom kompaktem Träger nehmen kann. Ich muss ja dann zeigen, dass die Menge nicht leer ist und einen Häufungspunkt besitzt. Das ist mir aber noch nicht ganz klar wie ich das zeigen soll. Gruß Feilx


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FractalAntenna
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-21

Hallo, wenn der Träger von $f_{\mathbb{R}}$ kompakt ist, heißt das doch, dass die Funktion außerhalb eines beschränkten abgeschlossenen reellen Intervalls gleich 0 ist. Viele Grüße FractalAntenna


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Feilx
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-21

Ok das ist mir jetzt klar. Wähle ich dann jetzt eine beliebige offene Menge auf $\IR$ und da f auf dieser Menge die Nullabbildung ist, folgt mit dem Identitätssatz, dass f auf $\IC$ konstant 0 ist?


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Kollodez777
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-11-21

Fast richtig. Natürlich kannst du nicht eine beliebige offene Menge nehmen, aber du weißt, es existiert ein $M>0$, sodass $f$ eingeschränkt auf $((-\infty, -M] \cup [M, \infty) ) \times \{0\} \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R} \simeq \mathbb{C}$ identisch Null ist. Insbesondere existiert also eine Folge von komplexen Zahlen (zB. eine von rechts kommende gegen $(M,0)$ konvergierende Folge), auf der $f$ vollständig verschwindet. Nach dem Identitätssatz folgt die Behauptung (dass $f=0$ auf ganz $\mathbb{C}$).


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