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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Diskrete vs kontinuierliche Fouriertransformation
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Universität/Hochschule Diskrete vs kontinuierliche Fouriertransformation
sing678
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.08.2014
Mitteilungen: 18
  Themenstart: 2015-11-25

Hallo, bin gerade etwas verwirrt und frage mich wo ich hier Verständnisprobleme habe. Ich habe eine gedämpfte Schwingung und möchte mir dazu das Frequenzspektrum ansehen. Die Schwingung sieht so aus: http://fs5.directupload.net/images/151125/q9ri8pnn.jpg f(t)=e^(-a*t)*e^(\ii\ *b*t) mit a=0.1 und b=3 b entspricht hier der Grundfrequenz. Die kontinuierliche Fouriertransformation liefert dann: f(w)=1/sqrt(2\pi)*int(f(t)*e^(\ii\ *w*t),t,-\inf ,\inf) Was muss ich hier für Integrationsgrenzen einsetzen? Wenn ich beispielsweise den Bereich für t=0 bis t=10 ansehe, sind dies dann die Integrationsgrenzen? Also: f(w)=1/sqrt(2\pi)*int(f(t)*e^(\ii\ *w*t),t,0 ,10) Mathematica liefert: http://fs5.directupload.net/images/151125/6wkr7tdx.jpg Das sieht auch plausibel für mich aus. Die Grundfrequenz hat den größen Peak. Nun versuche ich es mit der diskreten Fouriertransformation. Mathematica liefert hier: http://fs5.directupload.net/images/151125/8ql9py5n.jpg Und das verstehe ich nun überhaupt nicht. Erstmal ist das Maximum immer an der gleichen Stelle im Lösungsvektor, egal wie fein ich die Unterteilung d mache und außerdem sieht es überhaupt nicht so aus wie die kontinuierliche Fouriertransformation. Was mache ich hier falsch/ was verstehe ich nicht? Die DFT ist doch das gleiche wie die kontinuierliche FT, lediglich mit diskreten Werten, oder etwa nicht? Vielen Dank im Vorraus!!


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-26

\ Hallo sing678, die Integrationsgrenzen für die kontinuierliche Fouriertransformation hast Du ja selbst hingeschrieben: -\inf bis \inf. Das Integral konvergiert aber nicht, wenn Dein Funktionsterm für f auf ganz \IR gelten soll. Ich vermute, dass Du die Funktion f_k(t)=cases(0,t<0;exp((-a+b\ii)t), t>0) meinst, dann sind die Integrationsgrenzen 0 und \inf richtig. Wenn Du nur bis t=10 integrierst, wird ein erheblicher Teil des Signals vernachlässigt. In diesem Fall kann man das uneigentliche Integral geschlossen darstellen, es ist keine Näherung notwendig. Die diskrete Fouriertransformation hat mit der kontinuierlichen viele, aber nicht alle Eigenschaften gemeinsam. Ein paar der Unterschiede habe ich in Abtasttheorem und Signale aufgeschrieben. Den Zusammenhang zwischen dem Vektorindex und der Frequenz des Maximums kannst Du der Beschreibung der Mathematica-Funktion Fourier entnehmen. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Signale und Systeme' von rlk]


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sing678
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 18
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-26

Vielen Dank für die Hilfe! Dass ein Teil des Signals verloren geht ist mir klar. Mir ging es nur um den direkten Vergleich mit der diskreten Fouriertransformation. Meiner Ansicht nach müssten die Plots der kontinuierlichen und der diskreten Fouriertransformation zumindest qualitativ einigermaßen übereinstimmen? Sie ähneln sich aber überhaupt nicht, die kleinen Auschläge neben der Grundfrequenz (bedingt durch das kleine Fenster von eben nur tmax=10) sind weg. Und den Zusammenhang zwischen Frequenz und Position im Ergebnisvektor verstehe ich überhaupt nicht (Die Mathematica Seite habe ich gelesen, aber auch matlab liefert, natürlich, das gleiche Ergebnis...welches ich nicht interpretieren kann). Ich dachte erst der Zusammenhang zwischen Stelle im Vektor und Frequenz wäre: \omega=2\pi/t mit t=n/N*T n wäre dann der Eintrag im Ergebnisvektor N die Gesamtanzahl, hier 100 Punkte T die Samplingdauer, hier 10 Sekunden Funktioniert aber leider nicht... Naja, vielen Dank auf jedenfall. Muss mir wohl doch noch was an Theorie anlesen. :D


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Gotn
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-11-26

Die Spektren sollten sich ähnlich sehen, allerdings gibt es auch Unterschiede. Im Prinzip gibt es 4 Varianten der Fourier-Transformation: Man unterscheidet periodisches und nicht-periodisches Signal und zeitkontinuierlich oder zeitdiskret. Ein periodisches Signal besitzt ein Linienspektrum (nur Harmonische der Grundfrequenz sind enthalten). Ein nicht-periodisches Signal besitzt ein kontinuierliches Spektrum. Bei einem abgetasteten Signal kommt dazu, dass das Spektrum periodisch ist. Die DFT ist der Fall eines periodischen, abgetasteten Signals. Wenn du nur einen kleinen Ausschnitt deines Signals vorliegen hast, setzt der Algorithmus dies periodisch fort. Weiterhin musst du das Abtasttheorem beachten, wozu es schon einen Link in einer früheren Antwort gibt.


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