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 Pullback und Pushforward von (Co-)Tangentialvektoren |
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didubadap
Senior 
Dabei seit: 07.08.2014
Mitteilungen: 513
 |  Themenstart: 2015-11-27
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Hallo zusammen,
ich versuche mich immernoch mit Mannigfaltigkeiten anzufreunden und bin gerade etwas verwirrt, was Pullback und Pushforward angeht. Vorher möchte ich nochmal ein paar Definitionen durchkauen, weil ich mir nicht 100% sicher bin, dass meine Vorstellungen dort richtig sind:
Seien $M,N$ glatte Mannigfaltigkeiten und $f:M\to N$ eine glatte Abbildung. Dann wird das Differential von $f$ ausgewertet an einem Punkt, $df_p:T_pM\to T_{f(p)} N$ ja auch "Pushforward" genannt und als $f_{*p}:=df_p$ notiert.
Gleichzeitig gibt es die Funktion $f^*:C^\infty(N)\to C^\infty(M)$ definiert durch $f^*(\phi):=\phi\circ f$. Dann ist $f^*$ ein Algebrenhomomorphismus, wenn man die Räume der Skalarfelder $C^\infty(M)$ als $\mathbb{R}$-Algebren auffasst. Wenn man aber $C^\infty(M)$ als kommutativen Ring auffasst, ist $f^*$ kein Ringhomomorphismus, richtig?
Der Raum der glatten Schnitte des Tangentialbündels, also der Vektorfalder auf $M$: $\mathcal{X}(M)$ ist dann einerseits ein $\mathbb{R}$-Vektorraum, andererseits ein $C^\infty(M)$-Modul. (wobei ein Vektorfeld $\mathcal{X}(M)\ni X:M\to TM$ Punkte der Mannigfaltigkeit auf Derivationen abbildet, also für $p\in M$ ist $X_p:=X(p)\in T_pM\subseteq TM$ eine lineare Abbildung $T_pM\ni X_p:C^\infty(M)\to \mathbb{R}$ welche die (punktabhängige) Leibnitzregel
$\displaystyle X_p[\phi\cdot \psi]=X_p[\phi]\psi(p)+\phi(p)X_p[\psi]$
erfüllt?!)
Ich bin mir immernoch nicht sicher, welche Definition ich genau verwenden soll um Tangentialvektoren darzustellen: Auf Derivationen habe ich mich schon festgelegt, allerdings finde ich es nicht sinnvoll Funktionenkeime zu betrachten (was man ja nicht muss). Der Nachteil des Verzichts auf Funktionskeime ist aber, dass eigentlich zu jedem Tangentialvektor irgendwo noch die Information des Punktes, an dem er "hängt" explizit dazugeliefert werden muss, oder? Die Tangentialräume sind somit nämlich Räume von linearen Abbildungen $C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ welche eine Punktabhängige Bedingung erfüllen. Der Punkt selbst aber kann streng genommen nicht aus der nackten Abbildung $C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ zurückgewonnen werden, oder?
Also müsste ich meine Tangentialvektoren als $(p,X)$ wo $X:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ linear mit "Leibnitzregel bei $p$" definieren, es wären alle Tangentialräume disjunkt (was man ja will) und ich könnte schreiben $\displaystyle TM=\bigcup\limits_{p\in M}T_pM$. Dann würde ich um die Notation schlanker zu machen statt $(p,X)$ schreiben $X_p$ für einen Tangentialvektor bei $p$, was zwar mit der Auswertung von Vektorfeldern kollidiert, aber keine Probleme macht, weil jeder Tangentialvektor auch im Bild eines Vektorfeldes liegen kann, und jedes Vektorfeld ausgewertet bei $p$ auch einen Tangentialvektor an $p$ liefert. Ist das so richtig?
Man kann auch (?!) die Wirkung eines Vektorfeldes auf ein Skalarfeld punktweise definieren: Ein Vektorfeld $X\in \mathcal{X}(M)$ lässt sich auch als $\mathbb{R}$-lineare Abbildung $X:C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ auffassen, wobei seine Wirkung punktweise definiert ist: für $p\in M$ ist
$X[\phi](p):= X_p[\phi]$ und $X[\phi]\in C^\infty(M)$.
Dann erfüllt $X$ die (punktunabhängige) Leibnitzregel $\displaystyle X[\phi\cdot\psi]=X[\phi]\cdot\psi+\phi\cdot X[\psi]$
wobei der Punkt hier (und vorher) für die Multiplikation in der Algebra $C^\infty(M)$ steht.
Dies ist eine Schreibweise, welche die Lie-Ableitung $\mathcal{L}_X$ mit dem Vektorfeld $X$ gleichsetzt??? (zumindest soweit ich das verstanden habe; ob das stimmt ist einer der Hauptpunkte meiner Frage hier)
Jetzt definiert man den Pullback eines ein Schnittes $\omega$ über dem Bündel $ T^*N$, also $\omega_q:=\omega(q)\in T^*_qN$, wobei $f(p)=q$
Zunächst punktweise: der Pullback von $\omega_q\in T^*_qN$ "mit $f$" ist $f^*\left(\omega_{f(p)}\right)\in T_pM$ definiert durch $\left(f^*(\omega_{f(p)})\right)[X_p]:=(\omega_{f(p)})[X_p\circ f^*]$.
Mit diesem Verfahren kann man für jeden Punkt $q\in \text{im}(f)$ den Pullback $f^*$ auffassen als Abbildung $f^*:T^*_q N\to T^*M$? Irgendwie verwirrt mich das: was passiert hier, wenn $f$ weder injektiv noch surjektiv ist? Muss man sich den Punkt $p\in M$ aussuchen, zu dem man aus einen Kovektor bei $q\in \text{im}(f)$ zurückziehen möchte?
Das ist genau das Problem, das anscheinend beim Pushforward von Vektorfeldern zum funktionieren des Verfahrens Diffeomorphismen erfordert. Ich verstehe aber irgendwie noch nicht so recht was hier lost ist...
Man "zieht" nun die Form auf $N$ zurück und bekommt eine auf $M$, indem man für ein Vektorfeld $X\in\mathcal{X}(M)$ (hier eher aufgefasst als Lie-Ableitung?) definiert:
$\displaystyle (f^*\omega)(p)[X]:=\omega(f(p))[f_*_pX] $ wobei
$(f_*_pX)[\phi]=(X\circ f^*)[\phi]=X[\phi\circ f]$.
Anscheinend funktioniert das ohne Probleme und verträgt sich später sogar mit Wedge-Produkt und äußerer Ableitung... Hier stellen sich mir die Fragen von der Punktweisen Betrachtung gar nicht mehr... ich habe das Gefühl irgendwo hier oder weiter oben muss ein Fehler drinn sein?
Wenn man jetzt versucht das gleiche für Pushforward von Vektorfeldern zu machen, läuft wie bereits gesagt irgendwas schief, und ich hab nicht ganz verstanden, was, beziehungsweise warum das (injektivität/surjektivität) bei Kovektorfeldern keine Probleme bereitet.
Tut mir leid, dass diese Frage etwas in die Länge ging. Ich hoffe jemand kann mir trotzdem weiterhelfen und bedanke mich im Voraus für eure Hilfe.
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didubadap
Senior 
Dabei seit: 07.08.2014
Mitteilungen: 513
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-29
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Kann mir wirklich niemand weiterhelfen? Wahrscheinlich ist die Frage zu lang. Im Grunde suche ich eine Erklärung, warum der Pushforward von Vektorfeldern nicht wohldefiniert ist, von Tangentialvektoren schon, der Pullback von Differentialformen in jedem Fall. Die Begründung, dass das dann nicht geht, wenn $f$ nicht bijektiv ist habe ich schon mal gehört, bin aber doch noch verwirrt.
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.2, eingetragen 2015-12-29
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Hi.
\quoteon(2015-11-27 20:35 - didubadap im Themenstart)
Gleichzeitig gibt es die Funktion $f^*:C^\infty(N)\to C^\infty(M)$ definiert durch $f^*(\phi):=\phi\circ f$. Dann ist $f^*$ ein Algebrenhomomorphismus, wenn man die Räume der Skalarfelder $C^\infty(M)$ als $\mathbb{R}$-Algebren auffasst. Wenn man aber $C^\infty(M)$ als kommutativen Ring auffasst, ist $f^*$ kein Ringhomomorphismus, richtig?
\quoteoff
Doch. Addition und Multiplikation sind ja punktweise erklärt.
\quoteon
Ich bin mir immernoch nicht sicher, welche Definition ich genau verwenden soll um Tangentialvektoren darzustellen: Auf Derivationen habe ich mich schon festgelegt, allerdings finde ich es nicht sinnvoll Funktionenkeime zu betrachten (was man ja nicht muss). Der Nachteil des Verzichts auf Funktionskeime ist aber, dass eigentlich zu jedem Tangentialvektor irgendwo noch die Information des Punktes, an dem er "hängt" explizit dazugeliefert werden muss, oder?
\quoteoff
Absolut. Das musst du unbedingt tun. Du wirst nie die Notwendigkeit haben, Vektoren aus verschiedenen Fasern zu vergleichen (oder gar zu addieren). Die Vektorräume $T_xM$ und $T_yM$ sind für alle Zwecke grundverschieden, disjunkt, ohne irgendeine Verbindung zueinander. Erst wenn man nichttriviale, zusätzliche Informationen hat (wie etwa einen Zusammenhang), kann man solche Dinge tun.
\quoteon
Die Tangentialräume sind somit nämlich Räume von linearen Abbildungen $C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ welche eine Punktabhängige Bedingung erfüllen. Der Punkt selbst aber kann streng genommen nicht aus der nackten Abbildung $C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ zurückgewonnen werden, oder?
\quoteoff
Ja, das ist korrekt. Der Ansatz mit den Keimen ist auch deshalb nützlich: Wenn du die Derivationen nicht auf ganz $C^\infty(M)$ definierst, sondern nur auf dem Keim rund um $x$, dann ist klar, dass ein Element von $T_x M$ nichts mit einem Element von $T_y M$ zu tun haben kann, weil diese Abbildungen völlig verschiedene Definitionsbereiche haben.
Der Vorteil wird deutlich, wenn man Dinge betrachtet, die keine Mannigfaltigkeiten sind, Schemata etwa. Dort ist nicht mehr jede lokal um $x$ definierte Derivation fortsetzbar auf den Raum der global definierten Funktionen, alleine schon, weil der globale Funktionenraum Null sein könnte. Bei Mannigfaltigkeiten treten solche Pathologien nicht auf, aber im allgemeinen Fall kann das passieren.
\quoteon
Also müsste ich meine Tangentialvektoren als $(p,X)$ wo $X:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ linear mit "Leibnitzregel bei $p$" definieren, es wären alle Tangentialräume disjunkt (was man ja will) und ich könnte schreiben $\displaystyle TM=\bigcup\limits_{p\in M}T_pM$. Dann würde ich um die Notation schlanker zu machen statt $(p,X)$ schreiben $X_p$ für einen Tangentialvektor bei $p$, was zwar mit der Auswertung von Vektorfeldern kollidiert, aber keine Probleme macht, weil jeder Tangentialvektor auch im Bild eines Vektorfeldes liegen kann, und jedes Vektorfeld ausgewertet bei $p$ auch einen Tangentialvektor an $p$ liefert. Ist das so richtig?
\quoteoff
Ja, das geht.
\quoteon
Man kann auch (?!) die Wirkung eines Vektorfeldes auf ein Skalarfeld punktweise definieren: Ein Vektorfeld $X\in \mathcal{X}(M)$ lässt sich auch als $\mathbb{R}$-lineare Abbildung $X:C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ auffassen, wobei seine Wirkung punktweise definiert ist: für $p\in M$ ist
$X[\phi](p):= X_p[\phi]$ und $X[\phi]\in C^\infty(M)$.
Dann erfüllt $X$ die (punktunabhängige) Leibnitzregel $\displaystyle X[\phi\cdot\psi]=X[\phi]\cdot\psi+\phi\cdot X[\psi]$
wobei der Punkt hier (und vorher) für die Multiplikation in der Algebra $C^\infty(M)$ steht.
\quoteoff
So weit, so gut.
\quoteon
Dies ist eine Schreibweise, welche die Lie-Ableitung $\mathcal{L}_X$ mit dem Vektorfeld $X$ gleichsetzt??? (zumindest soweit ich das verstanden habe; ob das stimmt ist einer der Hauptpunkte meiner Frage hier)
\quoteoff
Die Lie-Ableitung ist für viele verschiedene Dinge definiert. Für Funktionen (=Schnitte des nulldimensionalen Bündels $\Omega^0 M$), Vektorfelder (=Schnitt des Bündels $TM=T^1 M$), Tensorfelder (=Schnitt von $T^{\otimes k} M$), Formen (=Schnitt des Bündels $\Omega^k M=\bigwedge^k T^\ast M$) uvm.
Und ja: Der einfachste Fall der Lie-Ableitung, bei der sie auf $C^\infty(M)$ wirkt, ist einfach die Anwendung des Vektorfelds.
\quoteon
Mit diesem Verfahren kann man für jeden Punkt $q\in \text{im}(f)$ den Pullback $f^*$ auffassen als Abbildung $f^*:T^*_q N\to T^*M$?
\quoteoff
Fast. Für jedes Paar von Punkten $(p,q)$ mit $f(p)=q$ kannst du $f^\ast$ auffassen als Abbildung $T_q^\ast N \to T_p^\ast M$.
\quoteon
Irgendwie verwirrt mich das: was passiert hier, wenn $f$ weder injektiv noch surjektiv ist? Muss man sich den Punkt $p\in M$ aussuchen, zu dem man aus einen Kovektor bei $q\in \text{im}(f)$ zurückziehen möchte?
\quoteoff
Nein, man sucht sich nichts aus, es ist gegeben, welchen Punkt $p$ du betrachtest. Der Punkt $q$ ist dementsprechend eindeutig festgelegt als $q=f(p)$ und Punkte, die nicht im Bild liegen, tauchen gar nicht auf.
Beachte, dass diese Konstruktion in der Praxis immer für das komplette Bündel und ihre Schnitte benutzt wird: $f^\ast$ bildet Schnitte von $T^\ast N$ (=1-Formen auf $N$) auf Schnitt von $T^\ast M$ (=1-Formen auf $M$) ab. $f^\ast(\omega)$ ist der Schnitt, der in jedem beliebigen Punkt $p\in M$ den Wert $f^\ast(\omega_{f(p)})\in T_p^\ast M$ hat.
Man trifft also keine Auswahl, man benutzt alle Punkte $p$ auf einmal!
\quoteon
das Gefühl irgendwo hier oder weiter oben muss ein Fehler drin sein?
\quoteoff
Weniger Bauchgefühl, mehr Mathematik! ;-)
Es hilft, wenn du versuchst, möglichst wenig auf einmal zu tun. Es werden hier so viele Definitionen, Notationen & Co auf einmal auf dich eingeworfen, dass es sehr leicht ist, den Überblick zu verlieren.
mfg Gockel.
[Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Differentialtopo/-geometrie' von Gockel]
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Gockel
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| Beitrag No.3, eingetragen 2015-12-29
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Zur Frage, wieso das Ganze für Vektorfelder nicht funktioniert: Wieso sollte es?
Was müsste man tun, um ein $f_\ast: \Gamma(TM) \to \Gamma(TN)$ zu definieren? Man müsste für $X\in\Gamma(TM)$ und für alle $q\in N$ einen Wert von einem Vektorfeld "$f_\ast(X)$" an der Stelle $q$ definieren. Wie soll man das tun? Was könnte man überhaupt dazu anfangen? Wir haben ja gar nicht so viel, womit wir arbeiten könnten. Wir könnten $p\in f^{-1}(q)$ wählen und $(f_\ast(X))_q := f_\ast(X_p) = d_p f(X_p) \in T_q N$ definieren. Aber, damit das sinnvoll wird, müssen wir erstens in der Lage sein, diese Wahl überhaupt zu treffen (d.h. $f$ muss surjektiv sein) und das Ergebnis sollte von der Wahl unabhängig sein (dass $f$ injektiv ist, ist hinreichend dafür). Ein nicht injektives $f$ müsste sehr spezielle Bedingungen erfüllen, um diese Unabhängigkeit sicher zu stellen Angesichts der Tatsache, dass wir für zwei verschiedene Punkte $p\neq p'$ immer ein Vektorfeld finden können mit $X_p\in T_pM$ beliebig und $X_{p'}=0$, kann die Unabhängigkeit nur gegeben sein, wenn $d_p f = 0$ ist, d.h. alle $p\in f^{-1}(\{q\})$ müssen kritische Punkte sein. Das wird nur von sehr wenigen Funktionen erfüllt, dass alle Fasern entweder einelementig sind oder ausschließlich aus kritischen Punkten bestehen.
Der sinnvolle Weg ist daher, diese Definition nur für Diffeomorphismen zu treffen.
mfg Gockel.
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VorzeichenVogel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2015-12-29
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Hallo,
ich hab auch noch was zur Lie-Ableitung:
wenn du die Pull's und Push's als lineare Darstellung der Diffeomorphismengruppe auf einer offenen Umgebung betrachtest, welche auf die jeweiligen Tensorfelder auf besagter Umgebung wirkt, dann liefert die Lie-Ableitung die zugehörige infinitesimale Darstellung, also die Darstellung der Lie-Algebra der Diffeomorphismen. Diese wird gerade durch die Vektorfelder gegeben und für den Spezialfall der Anwendung auf eine 0-Form $\omega$ ergibt sich:
$L_{v}\omega=\frac{d}{dt}f^{*}_{t}\omega=\frac{d}{dt}\omega(f_{t})=\frac{df^{j}}{dt}\frac{\partial\omega}{\partial f^{j}}=v(\omega)$
Darin ist das f der Fluss vom Vektorfeld v und ich habe mir gespart überall Auswertung an $t=0$ dranzuschreiben. Andererseits ist die Wirkung der Lie-Albleitung auf Vektorfelder die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe Diff auf ihrer Lie-Algebra, also gegeben durch den Kommutator von Vektorfeldern.
Tschö
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