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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexer Torus
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Universität/Hochschule J Komplexer Torus
DerGauss
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  Themenstart: 2015-12-03

Hallo, ich suche eine meromorphe 1-Form auf dem komplexen Torus $\mathbb{C}/\Lambda$ für ein vollständiges Gitter $\Lambda$. Meromorph heißt dabei, dass die 1-Form durch $f(z)dz$ für meromorphes $f$ dargestellt werden kann in beliebigen Karten. Kennt jemand so eine 1-Form?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-12-03

\quoteon(2015-12-03 18:24 - DerGauss im Themenstart) ... Kennt jemand so eine 1-Form? \quoteoff Hi DerGauss, ja. Die Funktionen f(z) in diesen Formen sind elliptische Funktionen, also doppelt-periodische meromorphe Funktionen, sie bilden einen Körper. Mit Hilfe der Weierstraßschen p-Funktion und ihrer Ableitung p' beherrscht man diesen Körper vollständig, weil diese beiden Funktionen den Körper erzeugen. Außerdem bilden die meromorphen 1-Formen einen Vektorraum, und der Unterraum, der aus allen Formen besteht, die sogar holomorph sind, ist bekanntlich eindimensional. Stichworte: Kompakte Riemannsche Flächen, Abelsche Funktionen, Satz von Riemann-Roch. Es gibt natürlich viele Bücher, in denen diese Theorie dargelegt ist, zum Beispiel Behnke/Sommer, Springer-Verlag 1955. Gruß Buri


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DerGauss
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-03

Könnten Sie bitte eine ganz konkrete meromorphe Form hinschreiben? Kann ich zB. für f irgendeine beliebige elliptische Funktion nehmen oder wie? Zum beispiel die weierstraßfunktion? Und die 1-Form ist dann auch wirklich meromorph oder wie? Hilfee...


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-12-03

\quoteon(2015-12-03 21:01 - DerGauss in Beitrag No. 2) ... Kann ich zB. für f irgendeine beliebige elliptische Funktion nehmen ...? \quoteoff Hi DerGauss, natürlich. Du kannst auch nichts anderes nehmen, sondern nur genau das. p(z)dz ist eine meromorphe Form, und dp(z) = p'(z)dz auch. Gruß Buri


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DerGauss
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-03

Kann man so argumentieren: Die 1-Form $\wp(z)dz$ ist eine 1-Form auf ganz $\mathbb{C}$ und sie ist periodisch zum Gitter, definiert also eine 1-Form auf dem Torus. Und sie ist meromorph, also eine meromorphe 1-Form. Richtig so? Und noch was: $w=dz$ ist eine holomorphe Form auf dem Torus, da $w=dz=1(z)dz$ und die konstante Abbildung 1 ist holomorph. Diese Form ist invariant unter Translation, definiert also eine holomorphe 1-Form auf dem Torus. Ist $w'$ eine andere 1-Form auf dem Torus, dann ist $w'/dz$ holomorph, also konstant nach Liouville. Dass $w'/dz$ holomorph ist, habe ich gerade irgendwo gelesen. Aber wieso ist das so? Gilt das denn für eine allgemeine 1-Form $w'$ oder muss sie auch holomorph sein? Ich glaube sie muss holomorph sein, da dann $w'=g(z)dz$ für holomorphes $g(z)$ und dann ist $w'/dz=g(z)dz/dz=g(z)$ holomorph. Darf man das einfach so wegkürzen das $dz$? Oder wieso soll das holomorph sein? Danke Buri


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Buri
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-12-03

\quoteon(2015-12-03 21:33 - DerGauss in Beitrag No. 4) Kann man so argumentieren: Die 1-Form $\wp(z)dz$ ist eine 1-Form auf ganz $\mathbb{C}$ ... \quoteoff Hi DerGauss, nach dem, was ich mir vorher überlegt und geschrieben hatte, ja. Irgendwo habe ich noch einen Denkfehler eingebaut, bitte lass mich nachdenken. Gruß Buri


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DerGauss
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-03

Wieso darf $dz=1 \ dz$ denn ganz gewiss keine periodische holomorphe 1-Form sein? Ich lese überall, dass es eine holomorphe 1-Form ist. Ist denn die Argumentation im zweiten Abschnitt auch richtig?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2015-12-03

\quoteon(2015-12-03 22:18 - DerGauss in Beitrag No. 6) Wieso darf $dz=1 \ dz$ denn ganz gewiss keine periodische holomorphe 1-Form sein? \quoteoff Hi DerGauss, ich weiß es auch noch nicht. Irgendetwas läuft da schief mit den Begriffen und Eigenschaften, die ich kenne und benutze. Lass mich nachdenken. Ich ziehe auch vorläufig meine Antwort im Beitrag #3 zurück, solange, bis ich die Sache geklärt habe. Ich hoffe es, das bis morgen zum Mittag geschafft zu haben. Gruß Buri


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DerGauss
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-03

Uh das ist ein bisschen ungünstig für mich, da ich dies zu morgen früh brauche. Aber naja, kann man wohl nichts machen.


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dromedar
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-12-03

Hallo zusammen, dass ${\rm d}z$ eine holomorphe 1-Form auf dem Torus ist, findet man z.B. hier im Example 4.2 bestätigt. Und diese Aussage passt doch auch zu Buris erstem Beitrag: \quoteon(2015-12-03 19:02 - Buri in Beitrag No. 1) Die Funktionen f(z) in diesen Formen sind elliptische Funktionen, also doppelt-periodische meromorphe Funktionen, sie bilden einen Körper. Mit Hilfe der Weierstraßschen p-Funktion und ihrer Ableitung p' beherrscht man diesen Körper vollständig, weil diese beiden Funktionen den Körper erzeugen. \quoteoff Wenn die meromorphen 1-Formen auf dem Torus durch $\displaystyle f(z)\;{\rm d}z$ mit $f\in{\Bbb C}(\wp,\wp')$ gegeben sind, sind die einzigen holomorphen doch die, für die $f$ eine Vielfaches der 1 ist. Grüße, dromedar


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Buri
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  Beitrag No.10, eingetragen 2015-12-04

\quoteon(2015-12-03 23:17 - dromedar in Beitrag No. 9) gegeben sind, sind die einzigen holomorphen doch die, für die $f$ eine Vielfaches der 1 ist. \quoteoff Hi dromedar & DerGauss, ja, nach einigem Nachdenken sehe ich das nun auch ein. Ich habe vor allem versucht, einen Zusammenhang zu den Fragen in diesem Thema herzustellen. Auf der elliptischen Kurve $\lbrace(x,y)\in\mathbb{C}^2 | y^2=P_k(x)\rbrace$ sind das Differential $$\frac{dy}{\sqrt{P_k(x)}}$ und seine Vielfachen die einzigen holomorphen Differentiale. In den Torus-Koordinaten, das heißt, für z ∈ C / Γ nimmt dasselbe Differential die einfache Form dz an, und auch dieses erzeugt einen eindimensionalen Unterraum. Die Übereinstimmung beider Differentiale ergibt sich aus der Definition des elliptischen Integrals 1. Gattung, es ist dasselbe Differential, nur in verschiedenen Koordinatensystemen (= Karten). Die allgemeine Form meromorpher Formen auf C / Γ ist im Beitrag #9 angegeben. Somit sind auch meine Aussagen im Beitrag #3 richtig. Wichtig und interessant ist hierbei der Unterschied zwischen Funktionen und Differentialformen (klassischer Name dafür: Differentiale) auf Riemannschen Flächen. Es gibt zwar keine Funktionen ohne Nullstellen, aber Differentialformen ohne Nullstellen, die gibt es, es sind die Vielfachen von dz. Auf einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht p (also eine Kugel mit p Henkeln daran) hat der Vektorraum der holomorphen Differentialformen die Dimension p. Nach ihrem Entdecker werden solche Funktionen als Abelsche Funktionen bezeichnet. Für den Torus ist natürlich p = 1, für die Kugel (Riemannsche Zahlenkugel oder erweiterte komplexe Ebene $\overline{\mathbb{C}}$) ist p = 0. Gruß Buri


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