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Universität/Hochschule Gilt es auch für das ganze f?
mathletic
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  Themenstart: 2015-12-12

Hallo, wir betrachten die Differentialgleichung $Ly=f$ in den Ring der exponentiallen Summen $\mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]$ also haben wir dass $f=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}$. Wenn wir die Superposition anwenden müssen wir dann Differentialgleichungen der Form $Ly=e^{bx}$ lösen. Wenn $b$ eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit Multiplizität $M$ ist, ist die Lösung in der Form $Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]$. Wenn $b$ keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, ist die Lösung in der Form $Ce^{b x}\in \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]$. Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn $b$ keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, richtig? Das ist äquivalent zu $L(e^{b x}) \neq 0$, richtig? Gilt das auch für die originale Differentialgleichung? Also $L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0$ ?

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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-12-13

Die originale Differentialgleichung lautete aber $Ly=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}$ und die Lösung y ist dann nach dem Superpositionsprinzip die Summe der Einzellösungen.

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dromedar
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-12-13

Hallo mathletic, \quoteon(2015-12-12 22:36 - mathletic im Themenstart) Das ist äquivalent zu $L(e^{b x}) \neq 0$, richtig? Gilt das auch für die originale Differentialgleichung? Also $L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0$ ? \quoteoff Das hatten wir doch schon mal vor zwei Monaten hier in einem Spezialfall diskutiert. Dass und warum das Lösbarkeitskriterium nicht einfach $Lf\ne0$ lautet, siehst Du schon dort. Grüße, dromedar

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