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  Erwartungswert |
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marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 737
 |  Themenstart: 2015-12-15
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hallo hier eine Anfrage aus dem bereich der Schulmathematik
genauer genommen Stochastik . Bitte nicht böse sein ,dass ich den Aufgabentext als Ganzes eingescannt habe es geht um die Frage 1.2.2
mit welchem durchschnittlichen Zahlenwert der Spieler (bei der vorgegebenen Strategie das Spiel nach einer erreichten 2 , (siehe Aufgabe) zu beenden) rechnen darf.Werden da die Einzelnen Erwartungswerte aufsummiert.
Aber wie genau?!
Eine Hilfestellung wäre prima (:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43568_stochastik_erwartungswert.JPG
mfg markus
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-12-15
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Hallo marathon
Man muss für den Erwartungswert nur die Ereignisse berücksichtigen, bei denen keine 0 gedreht wurde.
Zur Kontrolle: Erwartungswert=0,8.
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marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-24
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Bei der Fragestellung 1.2.2 unter der Vorgabe das der Spieler aufhört sobald er eine 2 oder höher erreicht hat komme ich aber nicht auf den Erwartungswert 0.8
meine sicher ziemlich umständliche Herangehensweise war.
Der Spieler der ja vier Versuche durchführt ( es sei den er erreicht vorher die 2 oder 3 ) hat .
\
1. Viermal eine Null 0.5^4* 0 Euro Gewinn
2. Dreimal eine 0 und eine 1 0.5^3*0.25*1 Euro Gewinn
3. Sofort eine 2 (hört dann ja auf) 6/40* 2 Euro Gewinn
4. Sofort eine 3( hört dann ebenfalls auf ) 4/40*3 Euro Gewinn
5. Zuerst keine 2 oder 3 = Gegenereignis * (2 kombiniert mit 3) =
30/40*10/40*2.4 Euro Gewinn
6. Zwei mal keine 2 oder 3 = Gegenereignis hoch* 2 kombiniert mit 2 oder 3
(30/40)^2*10/40*2.4 Euro Gewinn
7. Dreimal keine 2 oder 3= Gegenereignis hoch 3 * (2 kombiniert mit 3)
= (30/40)^3*10/40*2.4 Euro Gewinn
Ergibt bei mir gesamt den Erwartungswert von
0.03125 + 0.3+0.3+0.45+0.3375+0.253125 = 1.671875
aber vielleicht liege ich mit meiner Zahlentüftelei im kleinen ja auch völlig falsch aber an die angedeutete 0.8 glaube ich auch nicht .
and by the way Frohe Weihnacht an alle Mathe und nicht Mathe Freaks
Gruß markus
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-12-24
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Orangenschale
Senior 
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
 | Beitrag No.4, eingetragen 2015-12-25
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Hallo fermat63,
das kann eigentlich nicht stimmen. Du hast ja alle Möglichkeiten außer acht gelassen, bei der eine Null gedreht werden kann.
OS
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-12-25
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mire2
Senior
Dabei seit: 29.08.2006
Mitteilungen: 4173
Wohnort: Köln-Koblenz
| Beitrag No.6, eingetragen 2015-12-26
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Hallo zusammen! :-)
\quoteon(2015-12-25 13:44 - fermat63 in Beitrag No. 5)
@Orangenschale
Ja, die Varianten mit 0 gedreht habe ich bewusst weggelassen, da ich der Auffassung bin, dass sobald eine 0 gedreht wird das Spiel vorbei ist.
\quoteoff
Hmm, lässt sich das so aus der Beschreibung des Spieles herauslesen? - Ich meine nicht.
\quoteon
Wie sonst kann man denn in diesem Spiel verlieren ?
\quoteoff
Wo ist denn bei dem Spiel von gewinnen oder verlieren die Rede? ;-)
\quoteon
Abgesehen davon wäre die Anzahl der zu berücksichtigenden Ereignisse für eine Teilaufgabe zu gross.
\quoteoff
Na ja, wenn ich das Spiel richtig verstanden habe, dann lassen sich die Möglichkeiten doch deutlich einschränken, nämlich auf insgesamt zwei.
Entweder der Spieler dreht eine 0 oder 1 -> Spieler dreht weiter
oder der Spieler dreht eine 2 oder 3 -> Spieler hört auf
P(X=0) = 0.5
P(X=1) = 0.25
P(X=0 oder 1) = 0.75
P(X=2) = 0.15
P(X=3) = 0.1
Damit ergeben sich nun die folgenden Möglichkeiten für die ZV Y=Zahl am Ende des Spiels:
a) Der Spieler erreicht am Ende eine 0, was bedeutet, dass er zuvor dreimal eine 0 oder 1 gedreht hat
P(Y=0)= 0.75³*0.5
b) Der Spieler erreicht am Ende eine 1, was bedeutet, dass er zuvor dreimal eine 0 oder 1 gedreht hat:
P(Y=1)= 0.75³*0.25
c) Der Spieler erreicht "am Ende" eine 2, was bedeutet, dass er die vorigen Drehungen eine 0 oder 1 gedreht hat.
Die 2 kann er im ersten, zweiten, dritten oder vierten Versuch schaffen:
P(Y=2) = 0.15*(1 + 0.75 + 0.75² + 0.75³)
d) Der Spieler erreicht "am Ende" eine 3, was bedeutet, dass er die vorigen Drehungen eine 0 oder 1 gedreht hat.
Die 3 kann er im ersten, zweiten, dritten oder vierten Versuch schaffen:
P(Y=3) = 0.10*(1 + 0.75 + 0.75² + 0.75³)
E(Y) = 0*P(Y=0) + 1*P(Y=1) + 2*P(Y=2) + 3*P(Y=3) ≈ 1.746
Hmm, eigentlich wollte ich ja keine Lösung posten, aber weil Weihnachten ist ... :-D
Dementsprechend auch weihnachtliche Grüße
mire2
\quoteoff
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3818
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.7, eingetragen 2015-12-26
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Huhu zusammen,
natürlich ist die von mire2 dargestellte Lösung vollkommen korrekt; noch etwas direkter erscheint mir der folgende Zugang:
$p=\left ( \frac{3}{4} \right )^4$ bezeichne die W'keit, dass der Spieler während der ersten vier Drehungen kein Ergebnis von 2 oder 3 erzielt. In diesen Fällen beträgt der (darauf bedingte) Erwartungswert $E_1 = (20*0 + 10*1)/30=1/3$. Erzielt der Spieler dagegen mindestens einen Punktwert von 2, was mit W'keit $1-p$ eintritt, so beträgt der (bedingte) E'Wert $E_2 = (6*2+4*3)/10=12/5$.
Mit dieser Überlegung und der Bezeichnung $Y$ wie in mires Beitrag, kann man die Aufgabe sogar recht einfach im Kopf lösen und erhält $EY=pE_1+(1-p)E_2=447/256$.
lg, AK.
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2015-12-26
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marathon
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Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 737
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-27
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Ja die Lösung gefunden Abitur 2014 berufliche Gymnasien Bw
Google machts möglich
wie gesagt das mit den 0.8 war natürlich Unfug!!!!
of sure
so weit war ich mit meinem Ansatz gar nicht entfernt
eingefügt die offizielle Lösung!!!
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43568_stochastik.JPG
sieht ziemlich ahnlich meinem Ansatz aus
wobei ich ja die 2+3 zusammen verrechnet habe .
Aber interesannte aufgabe
danke für die interessierten Impulse
ja Mire 2 hatte es ja Respekt soweit auf den Punkt gebracht .
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weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
 | Beitrag No.10, eingetragen 2015-12-27
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\quoteon(2015-12-27 05:38 - marathon in Beitrag No. 9)
ja Mire 2 hatte es ja Respekt soweit auf den Punkt gebracht .
\quoteoff
Ja, genauer auf den "Dezimalpunkt", d.h., er arbeitet konsequent durchwegs mit Dezimalzahlen, während deine "offizielle" Lösung aus einer grauslichen Mischung aus Dezimalzahlen und Brüchen besteht. Ganz zum Schluss, beim "erwarteten Zahlenwert" keimt sogar kurz die Hoffnung auf, dass dessen Autor zu einer einheitlichen Bruchdarstellung zurückkehrt, aber statt auch das Endergebnis wenigstens noch alternativ in der Form 447/256 anzuschreiben, rundet er noch vorher auf eine Dezimalzahl. :-o
Und ja, dass du die Lösung von AnnaKath, welche um vieles kürzer und eleganter als deine "offizielle" Lösung ist, nicht einmal gesondert erwähnst, kann ich mir eigentlich nur so erklären, dass du sie nicht verstanden hast! :-(
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marathon
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Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 737
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-28
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mann oh mann- ganz schon streng
es soll ja sicher nur fordernd gemeint sein.
Ja doch der Lösungsansatz von Anna kath ist in der Tat soweit ich ihn verstehe recht elegant sie geht über das sogenannte Gegenereignis keiner 2 oder 3 gekoppelt mit dem bedingten Erwartungswert
(Man lent nie aus !!)der 1 für die Null gibt es ja nichts soweit .
Dann das selbe für die Wahrscheinlichkeit das eine 2 oder eine 3 auftritt mit dem bedingten Wert 2.4
Gekoppelt mit dem Gegenereignis ergibt sich...als Ganzes
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43568_resultat.JPG
prägnant und elegant .
und für die von mir eingefügte Lösung muss natürlich streng genommen deren Autor ob formaler Schwächen herhalten .
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43568_schwarz.JPG
Ihr seid die Profis und ich doch nur ein quantité négligeable
Danke für die Impulse bis bald euer markus
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weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
| Beitrag No.12, eingetragen 2015-12-28
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\quoteon(2015-12-28 02:36 - marathon in Beitrag No. 11)
Ihr seid die Profis und ich doch nur ein quantité négligeable
\quoteoff
Niemand ist hier eine "quantité négligeable" und meine Kritik in Beitrag #10 bezog sich ja in erster Linie auf die angegebene Musterlösung, wo man zumindestens annehmen hätte können, dass hier auch Profis am Werk waren. Und ja, das Prinzip der Nichtvermischung von Brüchen mit Dezimalzahlen in Kommadarstellung sollte auch und gerade für die Schulmathematik gelten.
Was meinen einzigen dich betreffenden Kritikpunkt betrifft, nämlich die nicht ausreichende Würdigung der schönen Lösung von AnnaKath, so hast du ja diesen inzwischen ausgeräumt. Daher Ende gut, alles gut! :-)
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marathon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
marathon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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